АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 1991 г.

„ротиворечию. При p = S заключение ( 1 .6 ) очевидно верно. ( 1 . 7 ) . Пусть и IA rzO irw U ‘2 ). Если Аг - нецикличес­ кая группа и силовская 2 -подгруппа группы Q- имеет порядок Дольше 8 , то А/ - собственное 2-лорожденное ядро группы Q . Если lAI*()(fn0ii4-) и /)., - циклическая группа, то силовская 2-подгруп- ла группы Q или метациклическая, или имеет абелеву метацикли- кескую подгруппу индекса 2 . Если lAI =2<mod4 - ) , то силовская 2-под­ группа группы Q имеет секционный ранг i 4 . ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть Аг - нециклическая группа и Г--А/г . По ( 1 .3 ) T e S ^ f j ( Q ) . Допустим, что Т имеет такую четверную полгруппу w , что . Тогда , Cc (W j 6 /\/ и Ht a *)/С 9 № * / 1 и № ) ~ £ з . Так как Cc (W )'gA и to С с(И )' - 1 и C q(W ) - абелева метациклическая группа. Щзи атом существует 3-элемент х G СИ') \ N • Не ограничивая общности, можно считать, что CT(to) £ Sj/£t (C 4 (tol) к t C r (W ) ,Z j * C T(W ) Легко видеть, что CT(W) - гомоциклическая группа. Если ICr(W H -4 , то Г - 2-группа максимального кл асса [ 5 , теорема 5 . 4 . 5 J . Отсюда следует, что 1 Г 1 -8 Итак, можно счи тать, чТо /Cr ( W ) l 9 /6 и W *£ Z .t (C r l w По теореме 5 .4 .1 0 из [ 5 ] существует четверная подгруппа V < T . Так как Т /А г -циклическая группа, то \АА г * 1 . Отсюда / T:L\(V)ii 2 и tCTlW );C rm n C T(V )lb 2 . • В частности, • Но то гда »--ц я из IT : CT(W)I < 2 следует, что силовская 2-подгруппа группы Q имеет метациклическую абелеву подгруппу индекса 2 . Так как С 1 ,(А ,) содержит V и V , то W - И , (Аг ) . Отсюда Л$еи Итак, нормализатор любой четверной подгруппы из Г лежит в N . Пусть U - любая нециклическая подгруппа из Т . Так как Т/Ае - циклическая группа, то Ы/иПАг - циклическая группа. Если 1 фф , то (Ш)А) 3 П ( и п А ) * 1 . Отсюда следует, что U £U /(UA 4)* U /(U n A )f - абелева метациклическая группа. Так нак ( S 2 /U ) ) < Н » то получим заключение ( 1 . 7 ) . Остав­ шаяся часть утверждения ( 1 .7 ) легко следует из ( I . I ) и ( 1 . 3 ) . ( 1 . 8 ) . Если p e J t и Мр не явл яется абелевой метацикличес- кой группой, то N ^ (H p)tN . ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Действительно, пусть от<?/V, (А /р )\/V . Тог­ да Np и А р * А р . Так как Ар ОА р - 1 и А/р /Ар - цик­ лическая группа. Но тогда А р = Ар А р //}р г / ) р также цикли­ ческая группа. Эго доказывает ( 1 . 8 ) .