АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 1991 г.

ведливость ( 1 .3 ) следует из теоремы 3 .1 2 .4 в С43. ( 1 . 4 ) . Пусть р е Х и /1 р $ S y tfp iQ ) . Тогда либо /А р /= либо />i:3 . ДОКАЗАТЕЛЬСТВО следует из ( I . I ) и ( 1 . 3 ) . ( 1 . 5 ) . Пусть М - р -подгруппа группы <? , нормализ А . Если p e J T и М 4 .Ы , то А =А р - циклическая группа. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Так как M iR , то из ( 1 .3 ) следует, что Ар - циклическая группа. Допустим, что A-ApXL • где L + 1 . По условию М"(Ар )&Мм (А) . Поэтому CMM(Ap)f L]*[V„(A)t l]'*LnM. Так как 1 -О р (А ) , то [NM(Ap ) ,L ) - 1 . По теореме 5 . 3 .4 из [51 [ ь ,М )*1 , откуда . М 4 V . ( 1 . 6 ) . Пусть Q - разрешимая группа и Ох / ((})= / . Ес £,’*/У , то либо А - циклическая р -группа, либо /V ’ F ( Q ) I , F(Q) - абелева метациклическая группа, Q/FCQ)^ Q l( 2 ,p ) для любого р еЛ (А (^ )П А ) и 4 не делит IQ /H Q )I , если /M:F(G)I*2. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Из ( 1 .5 ) и условия следует, что F (Q )^H , если А не является циклической р -группой. В атом случае F(Q)'(! и F(G)‘<iG . Поэтому можно считать, что F(Q ) - абелева цикли­ ческая или метациклическая группа. Если F(G)AA * 1 , то [F(G),A]= 1 , что противоречит теореме 6 . 1 .3 из [ 5 ] . Значит, F(!i)r\Ar1 . Пуст р б Я (Р ($ )П А ) и Аа -F(Q )nA p . Так как Аа не нормальна в £ , то Op(Q> - абелева метациклическая группа и F l t (O p (Q ))-U имеет порядок р г , причем U n A t l . Понятно, что U < и Q*l}/C.(U)&Aut(U)*Gl>(£,p) • Так как C( (U)<*C " C( (U)iff > то , так что C ^ U D *F (Q ). Пусть Н - подгруппа из t i , содержащая F(Q) к F(Q) г И . Так как Н^Н) ь Н 9 (A )*N . то Для любой собственной под­ группы R из N - tf/F (Q ) Выполнено , где Q-Mf(G)' Таким образом, ff_ - сильно изолированная подгруппа группы Q , не нормальная в Q при A/+F((f) . Так как , то иа спис­ ка разрешимых подгрупп группы Q L ( 2 ,p ) ( Г б ], с.241)_ви дн о , что либо l Q h p ( p - 1 ) V 1 , где t делит р -1 и Q -группа Фробениуса, либо i f f / j 2 ." Допустим, что Л У / *2 . Тогда /<У/ делит p - f и 0 г (^ )П А -! для любого . Поэтому Op>(Q)nA = 1 и lA l делит I0 (Q)HP-t) • ЕРЛИ 1А р1> р> 3 , то из ( 1 .6 ) следует, что силовская р -подгруппа группы Q содержится в N вопреки по­ лученному выше. Значит, IAI делит р ( р ~ 1 ) . Из ( 1 .6 ) теперь следует, что [A ,U 1 -1 . Поэтому А * F(Q) -Cf (U ) , что приводит к П н