АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 1991 г.

План изложения следующий. В Я исследуются свойства конечной группы G , содержащей абелеву Fc -подгруппу. В частности, весьма подробно изучены разрешимые группы, обладающие Fc -подгруппой и группы, обладающие Fc -подгруппой четного порядка. В §2 изучены общие свойства АРА -групп, где А - абелева T I -подгруппа группы G , а в - циклическая. Установлено строение разрешимых групп, обладающих такой факторизацией при условии, чт о 2 ё Я С А ) . Кроме то ­ го, доказана разрешимость АВА -группы Q с циклическими подгруп­ пами А и В при 13Е(А)1* 1 ( теорема 2 ) . Последний результат анонси­ рован Я.П.Сысаком в 1979 г . C 3 J, но доказательство опубликовано не было. В §§ 3 -4 изучается минимальный контрпример к заключению теоремы I . В §3 установлено нормальное строение предполагаемого контрпримера. В частности, показано, что существует такая квази - простая нормальная подгруппа L , что G-X/) и $ ( G ) = Z ( G ) i В и задача сведена к случаю, когда IA l= 1(m ocL 2p Наконец, в §4 при помощи результатов из 5§ 1 -3 доказано, что контрпримера к теореме I не существует. § I . Группы, содержащие Fc -подгруппу В данном параграфе А - абелева Fc -подгруппа группы Q . Следующие два свой ства легко проверяются. ( 1 . 1 ) . Цусть H&Q и 1 * А п Н * А а . Тогда А 0 - Fc -подгруп­ па группы Н . ( 1 . 2 ) , Если M d Q и (iM l, 1А1) =1 , т о АМ/М - Fc -подгруппа группы G/M • ( 1 . 3 ) . % с т ь G - Р -группа. Тогда л и б о 4 < з£ , либо I A l= p , либо IAI > рИ З , причем А - циклическая группа, Л/ - абелева Метациклическая группа и I Q : N1 - р . ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Если Q - метациклическая группа, то спра­ ведливость ( 1 .3 ) проверяется непосредственным вычислением. Поэто­ му Пусть Q - не метациклическая. По теореме 5 .4 .1 0 из С5] су­ ществует элементарная абелева подгруппа W <Q порядка р 3 . Оче­ видно, что IQ : Cq ( w ) l * p . Пусть /А 1 > р . Тогда СА( » ) * 1 и поэ­ тому W 6 C^(CA(W ) ) ^ ^ • Из цикличности N/A следует, что П А */. Поэтому • Если Н - неабелева группа, то 1*N 'zA и. f/'< Q , Отсюда N-Q . Пусть . Тогда Н - абелева группа. Если x e G ' N , t o ^' xo V и АПАХ* 1 . Так как то /У - абелева метациклическая группа и А - циклическая группа. Если р»-* » то выполнено заключение ( 1 . 3 ) . Если /V».5 , то спр а-- ИЗ