АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 1991 г.

УДК 6 1 9 .4 Л.С.КАЗАРИН Ярославский университет КОНЕЧНЫЕ АВА -ГРУПГЬ С АБЕЛЕВОЙ 7 7 -ПОДГРУППОЙ А И ЦИКЛИЧЕСКОЙ ПОДГРУППОЙ В Пусть А и В - подгруппы группы Q . Если любой элемент д е представим в виде р = а 6 а ' , где а , ц ' е А , 6 е В « G называется АВА -группой. Стандартное обозначение Q -ABA . Строение АВА- групп существенно сложнее, чем строение групп, обладающих факто­ ризацией вида G -AR . Даже когда А - абел ева, а В - цикличес­ кая группа, известно немногое. Разрешимость АВА -групп с абеле­ вой А и циклической В установлена, например, в случаях когда порядок А или В - простое число [ I I или А и В - примерные группы Г Z3 • В настоящей работе доказана следующая теорема, яв­ ляющаяся обобщением результатов [ I ] , ТЕОРЕМА I . Пусть конечная группа Q представима в виде АВА, где А - абелева 7 7 -подгруппа группы Q , а в - ее цик­ лическая подгруппа. Тогда группа G разрешима. Используемые обозначения, в основном, стандартны. Рассматри­ ваются лишь конечные группы. Буква р используется только для обозначения простых чи сел. Полупрямое произведение групп X й У с нормальной подгруппой X обозначается Х л У , Напомним, что А называется 7 Y -подгруппой группы Q , если А п А * « I для любого X €Q \ tf( (A ) * В частности, А будет T I -подгруппой группы £ , если |/И - р . ф у гой пример - нормальная подгруппа группы G . Через обозначается множество всех силовских р -под­ групп группы Q , а через S y fjT ( Q ) _ множество всех холловых 7L - подгрупп группы Q . Элемент (Ц~*)х будем обоз­ начать через р ' х . На протяжении Всей работы X * X ( A ) t A /*fy (A ) , J [ ' * ( J i ( A ) ) ' . Если р е Л * то Ар - силойская р - подгруппа группы G , А/р - некоторая фиксированная силовская р - подгруп­ па группы У . Подгруппу А группы £ будем называть ее Ft - подгруппой, если А явл яется T I - подгруппой группы Q и Н /А - циклическая группа. Нетрудно проверить, что если G удовлетворяет условию теоремы I , то А будет ее Fc - подгруппой. 112