АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 1991 г.

Пусть теперь ё ф Ы , тогда <5 = d u , J e r c £ > , u t - f y u 4 1 . Для любого u L €г 'L l, а , ^ i существует элемент J i S r J b , такой что U t = «Jiiu < ^b , тогда J u i * J J i u j t е = o l ^ J u J i - , т . е . элемент o/u* тлеет порядок г. Далее, 0 |,гг ( 0 /и)'г= .3 'г = -1 ( m a J u ) и потому <*1*=^ . Такад образом, для любого u , t 'L l , ы, Ф -I имеем J . - ( <J Ui ~JI'lU iJu i > U i = • Т° «е равенство справедливо, оче­ видно, и при U i = i . Имеем теперь для любых и%.,ил е г У ^(Ui.U±) 1 о/ - ol ^Uj ^U±l(J — ol • Начиная отсюда, группу LI записываем аддитивно. На группе 'Ll введем операцию умножения. Если U t * о или U A - о . то положим U i o t l i - О . Выберем произвольный элемент u е 7 J , и * О ! он станет единицей относительно ум­ ножения. Если оЦфО , ( 4 гФО элементы J t , , такие положим U JiJi . Обозначил! через Ч отображение <*Ь------> U , опре­ деленное формулой S ' ( <Л) = cJ ~l u c J . По условия:,! теоремы Ч - биективное отображение на множество ненулевых элементов из И , то существуют единственные i ЧТО U i -C&L tiji., LiJjl ' TEMMA 1 9 . Группа V с введенным улножением явля­ ется полем, S ' “ осуществляет изоморфизм &С) на мульти­ пликативную группу U * поля И и для любых Jcr<£>, U l* rtl выполняется равенство - ' + ' ( * ) • U t. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО - Начнем с последнего равен­ с т в а . Если U i Ч о , то существует J i Gr<& , такой что с /^ Ц «J 1 , тогда J J =cJl U ^ u J i J = of’AMc» ° с/х u Ji- = 4 ( J ) ° O i . 2 сли 1 4 = 0 , то все тривиально. Покажем, что Ч - гомоморфизм (поскольку он биективен, это будет озн ачать, что Ч - изоморфизм) : Ч ( . = = o f / Ji.lUcJiJj - J i - ° J j LudjL - “Holt) ° 4 ( e 4 i Наконец, провериги выполнение аксиом поля. Относительно сложения U - абелева группа, относительно умножения и ч » 1 изоморфно абелевой группе . Остается проверит: дистрибутивность. Если U ,= .0 , то ясно, Ч ТО U i.° + r U jo U t -t- J i o U s -=. о ; если U i ф о , то существует <J Cr-ifb , так что U * - 4 ( c O п U i° (U * +U .» ):4 (« O a (W*f|/»ji = d : 1 (U i> U » )o l_ = + J t lUj j ~ 4 ( < 0 ° U* t _ ± ioe