АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 1991 г.

J| Г (J 1 ( г л э ol TJ ^ » TO cA - циклическая группа яоряцка 1 ,2 или 3 , a U - соответственно циклическая группа порядка 2 ,3 или нециклическая группа четвертого порядка. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Вначале докачен несколько лемм* , ЛЕММА 1 4 . £ > - абелева группа. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Для любых элементов имеем ( o lio f * ^ = ( o I i J a ) = d z ^ J t — ( J i J i ) (mo J 'll) , откуда = 0 ( 10/1 ( m o jb ) и c J i — dxJ± , так как эле­ мент J = ( J i d i )" 1 J L J x принадлежит множеству & 0 V - 1 . ЛЕММА 1 5 . Если J fc-G r , J ф , to Gr =< 5 * q j ДОКАЗАТЕЛЬСТВО . Пусть Л = < J u , u J U ‘ u ^ - i . Любой элемент U fcG r представим в виде Jii.e ro b , u .fc-T d . Если U i - i , to U ; если U i= * l , то существует элемент o ij t - o b , для которого u ^ u cAг . Тогда U - J i U i = ( J i c I l S J '1 ) 3 J x ЛЕММА 1 6 . Если J e r G - > .Э и o l i& J i.- <Jl, cJi . ol i , Ji , TO d 1 - J % __ > cJ x - dt , ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть U J . . Имеем, ЧТО <Ji-cAu 'djL = M b d u d n |, риэуя ПО ?, 4, ПОЛУЧИМ ~ J _ 4 MM*=(J>cl)-l: J j u JJo^ JU u .U 1; (cUMJUU и( следовательно, , т . е . o l i = d s , c i i —oi 4 • ЛЕММА IV . Существует элемент J s=-Gr , такой что - J u , Life U j откуда, факто- Тогда £ A :: A * — n 1 j > ; ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть u ^ U , u * i . > Тогда и-*-<фс& к поэтому U '^er-^bU c$k , т . е . существуют^ J^6r-c5ZB> , так ЧТО U - 1 - o l i u d z . • ПОЛОЖИМ . 9 - К < Л . Тогда *r-<£> . откуда, как легко ви деть, следует, что - £ . Всюду ншю через -А обозначается элемент, удовлетворяю­ щий условиям леммы 17 . ~ ЛЕММА 1 6 . Группа 'Ll - аб ел ева. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО* Если , то всякий неедшшчный элемент из И сопряжен В Gr с £ и поточу имеет порядок 2 . Следовательно, \А - группа периода 2 . 107