АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 1991 г.

Зо-первых, если - 1 , то структура L . тлеет лишь !ри атома и,следовательно, возможны лишь два случая: Сг = И - . Дь , или G r t S i , Й - А г . Вели c i b ^ i , то предложение 1 показывает, что порядок группы J b не более 1 2 . Если он больше 1 2 , то индекс цен­ трализатора элемента J в группе а Ь не меньше 4 , и пото­ му в с £ не меньше 4 различных элементов, сопряженных с о\ а тлеющих порядок 2 . Но из всех групп порядков, не превос­ ходящих 12, условиям 3 и 4 удовлетвор ял лишь перечисленные в теореме группы <£> . Если И - число элементов группы J b , то структура 1 _ тлеет ю атомов, отличных от © х а е * , т . е . все го m+ Л. атомов. Известно ( см. p i] ) , что если группа дей ствует транзптпвно на конечное множество /А , то индекс стабилизатора S t ( « - ) элемента а _ е - Л Л совпа­ дает с порядком множества ЛЛ . Так как стабилизатор эле­ мента в х в группе И совпадает с tA и имеет порядок и , то, следовательно, порядок группы И равен т(ю+< 2 .) Более тщательный анализ показывает, что группа |-| именно такая, как в формулировке теоремы. Перехода! к доказательству предложения 1 . Всюду нижа считаем, что с б -=f i , Н 4 Gr ■ . лемма з . е ^ е х , е А . е ^ е х . в л • ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Если 4 « х . е л , е * = (элемент Q * не может быть равным по условию), то по лемме 2 И - Сг . Аналогично невозможен случай е * = , е ^ е х . в д . . ЛЕММА 4 . Если в Н есть такой элемент t , что - © А , - е * , то множество автоморфизмов t i , обладающих свойством - е .А , е * = <з х , образует смеж­ ный класс d b t . Множество ■ z & u & ' t , если такой эле­ мент t е с т ь , или < 3 ?/ - , если такого элемента нет , -> подг^уйа И • Лемма очевидна. ~ t i m 5 . н = & £ и . ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Если то хотя бы один из элементов н от е . Предположим, что ©х 4 е х , е А . Цемент Й&--<зЬ , такой что - Сх • т , ° - Ц егЦ , > отличен и от ё х , ДУ = е х ю з