АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 1990 г.

ряда ( I I ) в элемент s^-c a c ' , а тан как / (сап (jj) < Ц а ( /) ) ^ L(CUn<j))<L(UaQ)aU„rj)) , ТО X (W ')<X(W ). Случай L(Un Q)) <1 ( c ) аналогичен предыдущему. Пусть L (t) =L (u n (j)) t тогда в силу того, что c u n ( j) обладает свойством р относительно ряда ( I I ) , в нем содер­ жатся элементы Sfc=cOc~' и S{ - U n Q ) a u „ ( j) , l{cu„(j)j< L(cQC~)=l(u^)au„(j)). Преобразования л с , с = р 8 * , к ~ Ц , применяемые к (10) и ( I I ) , преобразуют с а с ' в u ^ '( j ) a и л Ц ) , в результате чего X (W ')< Х(1ЛV). ОПРЕДЕЛЕНИЕ 9. Пусть H<F, g * F , , 3 р е Р, р ЧЯ, . Тогда присоединение к Н элемента д назовем корневым расширением подгруппы И и будем обозначать полу­ чаемую при этом подгруппу так: 7СН)=<Н,$ >. Ш 1А 5. Пусть Но <H i <НЯ* ... <Нп < ■■■ - цепочка вло­ женных подгрупп свободной группы F , где Jj i -о^г,. . Тогда существует П<<х> , такое, что Нп ^H nt1 . ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть Н0 <Н, <НЛ< ... < нп <.. . -п о с л е д о ­ вательность вложенных подгрупп группы F , где Hi t \ . Тогда характеристики этих подгрупп удовлетворяют неравенствам: XiW0) zX (W t ) 2 ~K(W,)},. ,>У-(уЧл)$ , где W; -ниль- сеновское множество образующих /V, . Поэтому существует. п . , начиная с которого X (W ^) =X(Wn t1 ) . Но это значит, что подгруппы Нп> н п +1 совпадают, то есть являются Л "-и зо ­ лированными. ЛЕША 6 . Пусть А , , Аг. - конечно порожденные подгруппы свободной группы F . Если А,<Аг , то 7 ^ (Л,) <УЛ (АХ) , где Ж . - произвольное множество простых чисел. \ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.' Пусть 7 ^ (А,) - 7 [ - изолятор подгруппы А , и J!f(Ax )^n^C tA t- 7[ - изолятор подгруппы Ах * где 65 ^ - Ж - изолированные подгруппы свободной группы F , содер­ жащие Ах . Поскольку А, <Аг <фА^ , то любая Ж - изолирован­ ная подгруппа , в частности и 7$(AX) , является Л - изолированной подгруппой, содержащей А , . Отсюда следует, что 7 х (.А ,) *Ух{Ах ). ■ Ш 7. Пусть Ж - произвольное множество простых чисел, Н - конечно порожденная подгруппа свободной группы F п Н~ Но <Н, < ■ ■ <Н „ (12) - цепочка вложенных подгрупп^группы F , где Н, i t l ) , i ' 0 , 1,2, ... . Тогда Уя //, 9