АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 1990 г.

Пусть £ - полная решетка некоторых подмножеств мно­ жества Р . Пересечение всех множеств из £1 » содержащих Л£Г , обозначим через S* . ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Будем говорить, что полная решетка Hi некоторых подмножеств множества Г удовлетворяет условию <j*\ если и Для каждого =С£ Г • Напомним, что для С2 множество есть множество для c f f i, 2 Р с 2 _ можно рассматривать, как упорядочен­ ное отношением включения множество. 8 . Для всякого упорядоченного множества Г упорядоченное мно­ жество изоморфно некоторой полной решетке 2 Z подмножеств некоторого множества, удовлетворяющей условию С»*-) • ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Будем говорить, что S с /(Г) принадлежит 2_> , если найдется что % V L y £ • Других элементов £ не содержит. Покажем, что U является полной решеткой. Пусть <S есть пересечение некоторых множеств из Д . Если Ь - 0 , то так как, согласно следствию 3 теоремы I , найдется Если 3 * 0 , то для всякого оС<£ 3 и f t * М согласно следствию 3 теоремы l , f t * 3 . Определим ^Т^(г)рогласно которому , если ££ Г и 3 , */($) = f во всех остальных случа­ ях. Покажем, что v/ й . Достаточно показать, что для любых г) * * ( & ) . , , ч • Пусть ИЛИ J i 4 Г * ТоГДа W (5,)- &•) . Пусть 4 ^ и Г . Согласно следствию 3 теоремы I для Г имеет место ?г.4& . Если f&4 Г , то, согласно свойству 4 множества /(Г ) и следствию 2 теоремы I , имеет место Таким образом, J e ^ f ( r ) и =§w*J-f(n . Пусть теперь в 3 есть объединение некоторых множеств из • Вновь определим и/*Т$(г) так, что , если ft Г и (Р . во ®сех остальных случаях. Проводя аналогичные рассуждения, можно показать, что \*/£в$(Г) и „= £ р е ZH , поскольку тождественное преобразование явля­ ется оператором замыкания. * И, наконец, пусть G = o 'j* M j( r ) » * £ P . Рассмотрим преоб­ разование w 't'ljfr), согласно которому , если 5 = Г 71