АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 1990 г.

-нильсеновское мно- ЛК.ЫА 2. Пусть Н<Г, \N~ {W iU~V? жество образующих подгруппы Н , - вспомогательный ряд. соответствующий W , и пусть , д ^ Н , и существует /г * Р \Х такое, что д Р * н , g= cx(i)...x(k)c~ ' , x ( k ) x f t ) ± ( , Тогда сопряжением слово из Н можно преобразовать д в слово g = c ,x'tr/J.. x Y k ) c / ' где С/ есть подслово левой половины некоторого i v f t £ = tf, W j*W ъ с ’ не изолировано в множестве слов S ряда ( 8 ). Доказательство очевидно. , ЛЕМА 3. Пусть H<F / -нильсеновское мно­ жество образующих И , ( 8 ) - вспомогательный ряд, соответст­ вующий W , к , д f Н , Э р *Р \Ж , д Р * Н Тогда присоединение к подгруппе Н элемента <д равносильно присоединению некоторого элемента и г , обладающего свойст­ вом р относительно вспомогательного ряда ( 8 ). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО'. Пусть д * х ( 1 ) ,..х ( к ) циклически несократи­ мо и 9 fl* H , / i * f . Тогда д р ъ х (0 ... х ( к ) х (Ы ) . ., х(2к ) ,,. x (fiк )= и (!)... и (т ), ( 9 ) где U (i)e {W U W '1} . Из соотношения (9) следует: Э р X(f)...x(k)=u(*)...u(/-/)C/A(/J , где Uj=UA(j)U n ( j ) , поэтому ерли l( u n (j )>[AI-‘g j j , то к множеству образующих И/ присо­ единяем и л Гр ; если Ц и п ( р ) * l ~ ^ J , L( Шр) - 2 S И , то к множеству W присоединяем t p ( р ; если L(u(j-))**k$f L(un(p ) =[-^P i)] и Un (J) изолировано в множестве S , об­ разованном элементами вспомогательного ряда, соответствующе­ го W , то к W присоединяем и л ( р , в противном случае и я ф • Допустим теперь, что д~СХГ*)...х(к)сч , где с - под­ слово левой половины некоторого образующего из множества {И/, W '} , неизолированное в S Пусть д Р * Н , то есть д Р * сх(<)... x ( /l k ) c ',» u (i)..U //n ). Тогда Э р с х О ) ... x ( k ) =u ( i ) ...a f j - f ) U / j ) >иЦ )=ил ( / ) Un ( j) Присоединение к образующим W подгруппы И элемента д равносильно присоединению сип ( р ил: c u p ( j ) . Выбираем тот из элементов, который обладает свойством р . Лемма до­ казана. Пусть -нильсеновское множество, п о - ’ рождающее подгруппу Н ; S ,n S j* ... < -вспомогательный 7