АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 1990 г.

Пусть для некоторого элемента i«Q имеет место uW) . ,v J i(4 n , причем если. 5 * ^ ( 5 ) * j t , если. (Г i tffJE), если. t + * и для всякого jvsSl и/г£ ) . / , если , если Согласно 1.3 13], W, и и/г п р и н а д л еж а т ^ .. Тогда w* w&(*.)=■$ f \ЦХ)=аф.)ФХ ., т .е . «Sfn. не полугруппа. Пусть теперь Q удовлетворяет указанным условиям. Тогда для всякого »сёО. , уб еС л «•(<*)=<<. или -и.О*-)е-Аъ, Таким обра­ зом, для любых •м. , 1 Г£■£&. шг=(у'Л и c^fo. полугруппа. СЛЕДСТВИЕ I . Если полугруппа, то для каждого найдется, и притом единственный, элемент , покрывающий с(. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Существование такого элемента следует из те­ орему. Допустим, что для некоторого <&Q>Asi. найдутся а , покрывающие в Q . Согласно лемме, ufy+d. для некоторого U^Ja, Тогда и оК'Л M t . По определению покрывающего элемента js, = и ( а . ) . , СЛЕДСТВИЕ 2 . Если ^ а -п о л у гр у п п а , то для всяких oC eQ 'in . , J> покрывает Л , XpcL имеет место . Доказательство. Пусть iKcfsi и . Согласно следствию I , для всякого /<Ла , |> я имеет место v(X) =H , u(d-)~Jb ±U(x) СЛЕДСТВИЕ 3 . В полугруппе о & 1 найдется оператор замыка­ ния и такой, .что Jo . . Доказательство следует из 1.3 £ 3 j , теоремы I и следствий I , 2 . Для произвольного упорядоченного множества Г построим некоторое упорядоченное множество - f ( T ) » необходимое нам для дальнейших рассуждений. Как обычно, кардинальное произведение двух упорядоченных множеств Р и О. будем обозначать PQ . Двухэлементную цепь О < I обозначим через 2 . Пусть 'Р - некоторое фиксированное взаимно однозначное отображение множества всех немаксимальных элементов множества Г на множество ^ ( Р ) , где М(р) фиксированное множество, равномощное множеству всех немаксимальных элементов Г , ГЛМГРЦ Пусть \ (r)-2М(Р) упорядочено по следующему правилу: I . 4 ,р б 2 .Р «Kji ( в ( в 2 -Г ) ; 68