АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 1990 г.

УДК 519.4 С. В.ТОЛСТОШЕИНА Курганский пединститут НЕКОТОРОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПОЛУГРУПП ОПЕРАТОРОВ BAUUКАНИН УПОРЯДОЧЕННОГО hhoiectba Пусть Q. - упорядоченное множество. Для обозначения отно­ шения упорядоченности во множестве Q , как обычно будем при-т менять знак < . Полугруппу всех преобразований множестваQ , рассматриваемых относительно операции суперпозиции, обозначим через Т а . ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Преобразование и е%г называется оператором замыкания, если I . o tijb = ? 2s oC ^-t^foC ) 3. «-(w-CoO) = tuCoC) . Преобразование U^T q , удовлетворяющее условию 2 , называ­ ется направленным; эндоморфизмом, если имеет место условие I ; направленным эндоморфизмом, если условия I и 2 выполняются одновременно. Совокупность всех направленных эндоморфизмов образует по­ лугруппу. Свойства этой полугруппы рассматривались, например, в работе £21 .............. Легко видеть, что операторы замыкания являются идемпотен- тами полугруппы направленных эндоморфизмов. Естественно, инте­ рес представляет тот случай, когда эта полугруппа является ор­ тодоксальной, т .е . совокупность её идемпотентов образует под­ полугруппу. Известно [ I ] , что полугруппа операторов замыкания явля­ ется коммутативной полугруппой идемпотентов. Известно 1 .6 [4 J , что всякую коммутативную полугруппу идемпотентов можно изоморфно вложить в полугруппу всех подмно­ жеств некоторого множества, рассматриваемых относительно опе­ рации пересечения. В этой работе мы рассмотрим представление полугруппы всех операторов замыкания полурешеткой специальных подмножеств не­ которого множества. Введем необходимые обозначения и определения. 66