АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 1990 г.

3 . Применение структурной теории Рассмотрим многообразие Ц порожденное алгеброй $ d ( n , F ) над нолем F характеристики нуль. Алгебра s t ( n , F ) имеет те не лиевекие тождества, что и алгебра матриц Г Ах J, и вложена в н ее. Тогда присоединенная ассоциативная алгебра А о! ( ь £ ( к , F)) удовлетворяет тождествам алгебра F н .2 • Пусть алгебра Ли L принадлежит многообразию п г ( s X (и t F)) _ Согласно [А], алгебра A of L удовлетворяет всем тождествам ал ­ гебры A d ( s L ( n , F ) ) и, следовательно, тождествам алгебры F> l z . В алгебре матриц выполнено тождество Капелли некоторого порядка £ S J к (Г) Х ш X г а ) •« • у м - i z d-r„L) =О. V t -> ,ц. Анализируя доказательство л е т 3 и 4 /б /, можно понять, что су- чествует ассоциативная Р Г -алгебра А такая, что L С LА ] и А удовлетворяет тождеству х п +1 si >ь ( х сга >#1 ‘ * ‘ x iГ(ж) = °- <г 6 -эм. Альтернируя это тождество по всем переменным X t-, получим тождест­ во Капелли порядка т. + У, выполненное в А . Рассуждения из пункта 2 показывают, что вложена в алгебру С F C X J / I t ТСА ) ] и радикал алгебры F ( X ) / J + ГСА ) нильпотентен. Применяя теорему I, получим наличие в Ь разрешимох’о радикала /?. такого, что L X , L I нильпотентен и L / X. - под­ прямая сумма алгебр Ли , вложенных в простые конечномерные ал ­ гебры Ли над некоторым полем и обладающие теми же тождествами, что и L ос . Теперь’ от общей схемы можно перейти к доказательству теоремы. 2 . Пусть в L выполнено тождество / ( X , ......... Х п ) Q , кото­ рое не выполнено в s € l X . , F ) .И з структурной теории простых конечномерных алгебр Ли над полем характеристики нуль следует, что идеал тождеств .любой такой алгебр! лежит в идеале тождеств алгебры J € ( 2 , F ) • Следовательно,все конечномерные простые ал ­ гебры, в которые вложены алгебры Lot., не удовлетворяют тождеству / , . . . , ) z. О . Зто означает, что F ~ L и L L , L ] нильпотентен. Следовательно, алгебра L. лежит в многообразии „ v ' q А для некоторого нильпотентного многообразия с и а болевого .