АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 1990 г.

подстановки элементов из L ( K ) вместо образующих. Легко проверить, что слабые тождества действительно образует идеал слабых тождеств. Имеет место и обратная связь между ними. Пусть / С F(X) - идеал слабых тождеств. Рассмотрим алгебру /\ = F C X ) / Г и в [А] алгебру Ли L , порожденную элементами из X . Тогда идеал слабых тождеств пары (А , L ) совпадает с / . Построенная пара является универсальным отталкивающим объектом в категории пар. В теории многообразий специальных алгебр Ли идеал слабых тож­ деств имеет следующее применение. 11РВД0Ш-М. Пусть L ( X ) C L A ] , где L (X) относительно свободная алгебра Ли, А - ассоциативная EI -ал геб­ ра. Рассмотрим идеал слабых тождеств Г , порожденный лиевскими тождествами L(XJ .Т о г д а L( X) C LF ( X ) / 1 + T(A)J. То есть можно очитать, что алгебра L ( X) вложена в фактор свободной алгебры по идеалу слабых тождеств. Предложение указывает на важность идеала слабых тождеств для изучения специальных многообразий. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть В - F ( X ) / I + Т ( А ) , где Т ( А) - идеал тождеств А , М подалгебра Ли алгебры СВ] порожденная X . В М выполнены все лиевские тождества L ( X ) Следовательно, существует естественный гомоморфизм ' f : L ( X ) FI. С'другой стороны, при естественном отображении F(X) на А идеал Г + ГМ^обращается в нуль. Поэтому существует отображе­ ние F ' в ----- * A , при котором 'ВСМ)^ Ь(Х)> Композиция 'В о Ч>I и (X) биективна. Следовательно, f - вложение L (X) в F (X ) / f + ТСА). \ Имея фиду предложение, при изучении специальных многообра-^ зий можно считать, что относительно свободная алгебра Ли вложена в фактор свободной ассоциативной алгебры по идеалу слабых тож­ деств И Х ) С FCX ) / f + ГСА) • Хотелось бы найти усло­ вия,при которых радикал алгебры F ( X ) / 1 + Т(А) нильпотентен. В [II ] показано, что радикал фактора свободной алгебры над беско­ нечным полем по идеалу слабых тождеств является ниль-идеалом. Используя этот факт и наличие в ГСА) тождества Капелли, можно' заметить, что радикал алгебры F(X ) / 1 -+Т (А) нильпотентен [3J. Наличие в обертывающей алгебре тождества Капелли выделяет' класс специальных многообразий алгебр Ли,к которым удобно приме­ нять отруктурную теорию. 63