АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 1990 г.

Мальцева [ 10 , о . 80j, она представима в вида прямой суммы век­ торных пространств j U- a ( L ) K a . = 0 . ^ + 7 ^ , где (Ху_ - полу- простая алгебра, У_^ - разрешимый радикал. Алгебра d y - пред­ ставима в виде прямого произведения простых идеалов flO , с . 68 j Q .^ - в и , + >•> + &<^гы- • То еоть = = + • ‘ ■ + + У у. • Рассмотрим проекцию Х у i ‘ у« у ( С ) К у ------ *- В у i . которая является к тому же гомоморфизмом алгебр над К у . Эта проекция сюръективна X y i ( / < y ( L ) K y ) = В y i . Пусть В - В / В . 7) Р (А) Пересечение Г) Р ( А ) локально нильпотентно в лиевском смыс­ л е, следовательно, £Г О Р ( А ) С- В. Осталось заметить, что X е- Р тогда и только тогда, когда ( V q L ) /**_(%) е У у . . Следование слева направо очевидно. В обратную сторону следует из ограниченности размерности М у ( £ ) К л числом L d / z ] \ Поэтому если х 6 L \ (L # то существует и. и t такие, что % у i о y i у ( х ) Ф О . На этом завершается доказательство пункта 3 теоремы. ✓ ЗАМЕЧАНИИ . . Можно показать, что в сделанных выше обозначениях алгебра Х у i ° y# у ( L ) не обязана быть простой. HPiiwEP* Пусть Г L x ] - кольцо многочленов, F ( х ) _ поле рациональных дробей. Пусть U ~ s € ( 2 , F ) ®р F i x : ] Обозначим через 1 подмножество элементов L , в записи которых участвуют многочлены без свободного члена. Тогда I идеал в L , но в алгебре матриц второго порядка над F i x ) имеет место изо­ морфизм L * F i x ) — S -В ( Z , А~ ( х ) ) . 2 . Идеалы слабых тождеств В [b] К).U. Разинеловим впервые введено понятие слабого тож­ дества и идеала слабых тождеств. Так как эти понятия играют важ­ ную роль в применении структурной теории к изучению многообразий алгебр Ли, приведем некоторые сведения о них [5]. ОПРЕДЕЛЕНИЕ • Пусть алгебра Ли вложена в ассоциа­ тивную обертывающую L F I А] . Ассоциативный полином / ( ,.., х ) называется слабым тождеством пары ( А . L ), если / ( ......... К . ) * О для любых l/j е U . ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть F(X) - свободная ассоциатив­ ная алгебра над полем f , L>(X) - свободная подалгебра Ли^ал­ гебры LF( X)] , порожденная образующими из X . Идеал JCp(X) назовем идеалом слабых тождеств,если он замкнут относительно