АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 1990 г.

Доказательство I части аналогично доказательству соответ­ ствующей теоремы в [ 3 ] . Если L конечно порождена, то L с L A J , Где /\ _ конечнопороаденная ассоциативная nJ -алгебра. Обозначим через ZT образ Я . Согласно [7], радикал ^екобсон а УАА) а л ­ гебры А нильпотентен. Пусть его степень нильпотентности с . Диевский идеал L Л У(А ) нильпотентен. Имеет место вложение £ / L Р У(А) d [ А / J ( A ) ] • Пусть d -полиномиальная сте­ пень алгебры А . Алгебра A ! J ( A ) - это подпрямая сум,та прими­ тивных £ I -алгебр А и. . и • Согласно теореме Капланского [8, с . I5lJ, каждая алгебра Aat является конечномерной простой алгеброй над своим центром 2 и. • ^ ~ поле и размерность А и над 2 ^ не превосходит L У/Z ]z . Рассмотрим гомоморфизм Ч ^ ' А ~ . Алгебра Ли Ч^ ( Я ) 2 „с. является идеалом конечномерной над алгебры Чос(/ £ ) 2 ы_ . Используя стандартные рассуждения,легко понять, что алгебра 4Z l ( Я ) 2 разрешима тогда и только тогда, когда разрешима алгебра 4 ac (ftA ) . Алгебра Чы-( Я ) локально разрешима и конечно порождена, следовательно - разрешима. Алгебры 4 j _ ( n ) и 'A cl (R ^ ) 2 vi_ имеют одинаковые степени_разрешимости,не пре­ восходящие [ d / z ] z . Следовательно, образ Я. при гомоморфизме Ч': L -------- > Z T / l T /) У(А ) является подпрямой суммой разре­ шимых алгебр, степени разрешимости которых не больше [ ^ / Z ] z . Поэтому Ч ( Я ) - разрешимая алгебра. Следовательно, Я разреши­ мый идеал и его степень не превосходит [ d / z \ 1 + С + i Доказательство 2 части аналогично доказательству I части и теоремы 6 .4 .5 из / 4J. Надо только предполагать, что Я - разре­ шимый, а У( А ) - нильпотентен. ____ \ В предположениях пункта 3 L С- L А] , где А - ассоциатив ная £ I -алгебра над полем характеристики нуль. Пусть +Р(А) - первичный радикал алгебры А . Известно, что для Р I .-алгебр первичный радикал локально нильпотентен [ 8 , с . 1457. *актор-ал­ гебра f t = /\ / Р(А) - подпрямая сумма первичных PI -алгебр, каждая из которых вкладывается в ( К ^ ) ц ^ г где K,j_ - поле. Пусть <№■ot ’ f t ---------- * ( Я *<.) п. „с • Тогда A j . ( А) Я ^ *■ ~ ( К + ) и ^ № . теорема 3 .2 ]. Так как алгебры и ( Я ^ ) п и имеют одинаковый набор полилинейных тождеств, по теореме Аыицурп Левицкого [ 8 , о . 150] ^ d/Z . где d - полиномиальная ' степень А • л ^ Пусть L ~ L- А С Р ( А ) . Рассмотрим конечномерную на К л алгебру Ли Ми . ( £ ) Я ^ . . Согласно теореме Леви- 61