АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 1990 г.

Следующая теорема является усилением теоремы I из ГI J. т±ч м п > ТЬОРЫлА I , Рациональные числа вида - ~ ~ L где м и п целые, < 2 , являются несвободными, ДОКАЗАТЕЛЬСТВО . Подберем две последователь™ ности ( 6 t ) и , удовлетворяющие условиям леммы 2, В ка­ честве ( />е) возьмем циклическую последовательность - » ? Я , -П} М ) -Шу y>J , . . Находим детерминированную ею последовательность- ( х , ) : Хс - 0 t x f = У , Хг - у __ м г-* 2 т и v _ м г+ 2 м п + и 1 „м ю 1 * -3м п -t- г )1 з ’ 7Р * У ГГ 1 > xs ~ п и п " у и т .д . По индукции устанавливаем, что для K it* ~ п > ~ ~П„ , и # ( м + п ) . и ~ ~ П* J ■г ( 2 A +<)мл + . пип > (&+ 1 )т .г + ( 2 А*- /) м п + 2 л . МП -. ($, +{) м г + 2 (£ .+ /)м н + 2 н 1 x4iti ~~ пi ' Для 2 ~ Л 2 получаем —- ( м + н ) г+ { j XVfli~ ~ ( tH + n ) X. Теперь воспользуемся симметричностью вхождения /»7 и л в выражение для yU и возьмем в качестве (tyj) циклическую по­ следоютельность л} -п ) -Му И)у - л , Му -Му . Заключаем, что для детерминированной последовательности (fy~) = - ( М +П)г+4 - у y VMi ^ - ( м + П ) 1 ~Ху„* ■ Следовательно, выполняется условие ( 2 . 1 ) леммы 2 , причем при м * л соответствующие последовательности (n t-) и (^J) р а з­ личны. Это доказывает теорему. Для получения следующих результатов усилим леммы 4 - 7 из статьи Г I ] . ЛШлА 3. ItycTb y U - j , ]уИ\<2 , (йу 4 ) = 4 , U и V - целые числа, удовлетворяющие уравнению <л2и + / V * / . ( 2 ) Пусть выполняется одно из следующих условий: (3 .1 ) V m * 1 , 1 2 , ± 4 , ± 5 , ± 6 ; (3 .2 ) г г - ± 3 , \ и \ > 1 -, ( 3 .3 ) 1Г« 1 9 , а и # нечетны, \ и ) > 4 ] (3 .4 ) й г = £ ( m c e f t r ) , где £ = ± 1 , \ и I ¥ i . Тогда точка,// несвббодна. ДОКАЗАТЫШЛЕО . Лемма усилиюет лемму 6 54