АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 1990 г.

следующие дда условия: •IВ / минимальна, ( 6 ) п минимально. ( 7 ) Из (5),v6) и (7) непосредственно следуют следующие четыре утверждения. ПРЕДЛОЕЕНИЕ I. Если Vevf , то ВХ2 Ф 1 и ВХ4 4 I. ПРЕКЛОНЕНИЕ 2 . Если Wet<4 , то слово В - R-приведено. ПРЕДЛОЕЕНИЕ 3. .Если 'He.vS и В Ф I, то W - циклически своОодно приведено. ПРЕДЛ01ЕНИЕ 4. Если We id , то I ^ п 4 : q/2. Докажем следующее утверждение. ПРЕДЛ01ЕНИЕ 5. Если W e T ^ , то В Ф I. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Предположим, что Welt^ и В = I. Тогда по предложению I Х4 и Х г не пустые слова.Из (4) имеем t Хг Х4 и, следовательно, циклически свободно приведенное слово W1 от слова W не пусто.Так как W, = W = I, то W удовлетворяет услови­ ям'(а) - (d) леммы I.B силу предложения 4, условия (b) - (d) ис­ ключаются. Torда имеем Wte R, что, в силу предложения 4, влечет Х ^ Х ^ г х^Хг и X^s I, Х^з I, что невозможно.Предложение 5 доказано. Образуем из слова W циклическое слово W, записав слова (ХЛ ) \ В, ( Х ^ Г и Я по одному на сторонах прямоугольника. ПРЕДЛОЕЕНИЕ 6. Если W « Е й В # I, то две стороны W *■ / не могут,содержать сегмент RJ определяющего слова, если R d > >(3/4)R. ■ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть и ' е Ц Х ^ Г в и R^>(3/4)R, тогда по предложению 2 R*fl (Х^Х, r>(I/4)R и, следовательно, по условию С 7(1/4) получим, что Rdc точностью'до циклической перес­ тановки совпадает с Х^.Если к тому же ХЙХ*= Y^X*, X = ,XflB= 2 U, то Хг (Х1Х2 )кН Z~ а X* = (Y4 Y4 ) Так как IJ непусто, то U^Y., получается своОодно приводимым, что противоречит утверждению предложения З.Этим, в силу аналогичности других возможных случа­ ев, доказывается предложение в. ПРЕДЛОЕЕНИЕ 7. Если We , то В £ I. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО, Допустим, что W e'lril и В ф I. Тогда по предложению 3 слово W удовлетворяет условиям (а) - (d) леммы I.Однако условие (а) приводит к невозможной циклической свободной приводимости определяющего слова, а условия (b) - (d) в силу существования определяющего'слова Х^ и предложения 6 при­ водят к существованию трех попарно не взаимно обратных определя­ ющих слов, которце нарушает условие Т(4) определения рбссматри-