АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 1990 г.

(это следует из условия леммы), все [ Ct-; ^ р ) являются базисными коммутаторами веса, не превосходящего У 1 , и по­ этому независимы по модулю у „ „ ( Я ) , то есть [£,Гр~) £ Полученное противоречие завершает доказательство леммы. Вернемся теперь к доказательству того,, что если V и W удовлетворяют уравнению (5")„ то \Ze/fr (&) и W € f r l R ) - Для этого (не изменяя обозначений) запишем ( 5 ) как вклю­ чение в групповом кольце 2 F : tj = с / , % 3 -гее*. се) Поскольку V 6 СV/, ^ 3 € jCr (H) , € /,(# ),- из леммы б следует,, что u / e jfe(R)» Тогда из леммы 2 следует,, что ^ г ( W - f ) (f~3~*) ~ ( ^ 3 ~f ) l 1 ) + ( V- 1 ) ( ^ ~ 0 ~ Отсюда ^ ( - V O * ДГ ( W f'-» ■ Тогда ^ з ( ^ ( жс</г'л* Аналогично Ц ( ^ С С) ; } ^ ( ы о / с * ) т Поэтому € С * и ^ ^ Докажем,, что при Съ Ъ . В самом дел е, по пр— строению V имеет вид П С./\,Л1,Л1<Лг Аг j Поэтому при и з Л Л Л Л ) ) Но выражение в скобках лежит, очевидно,, в Г е). Итак, для всех C e l . е Сгс , откуда i / - r e С* ► то есть V/£ / 7Ш . Но тогда £V ,/% ] б откуда С^ f )fl W *>а TorW ^ ^ ^ С Ю Ъ силу леммы С . Итак, мы доказали эквивалентность уравнения ( 5 ) и систе­ мы ( ? ) „ № ) система ( Ч ) разрешима тогда и только тогда, 174