АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 1990 г.

3 . Уравнения общего вида Мы начнем с моделирования произвольного диофантова урав­ нения степени 4 в свободной нильпотентной группе ступени 5 с двумя порождающими ОСf и Х г (мы будем обозначать элемен­ ты свободной группы р и их образы в группе F/ j/t ( F) одинаково; путаницы здесь не должно возникнуть).. Пусть Р Ы , , • ~ М - диофантово уравнение,: где р ( ы ы.к ) - многочлен степени 4. Тогда P(<t< ,,..,oLK) равен сумме одночленов вида: W / . Ч Ч Ч ; ± ± 1 * 1 г <и, ; ± c L : , d ^ ; . Доставим в соответствие этим одночленам левонормированные коммутаторы веса 5 следующим образом: ^ 2 ■ * С** о ^c2 , £-Сл) Ч 7 £ • l t l cL i3 — £ ЭС„ X l } U t , t i x , t C A1 e-«ч°Ч -* сз-оч * г , ь ч> 8 • ° Ч - * [ 2 (/ Ч J Пусть С " С ( , произведение всех этих коммутаторов. т ЛЕММА 5 . Сравнение С Х г 7 ( т е с / j^e ( F) ) разрешимо тогда и только тогда,, когда разрешимо уравнение р ( 4ч ,. - п, ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть V r t Для выполнения сравнения необходимо и достаточно, чтобы все производные Фокса веса, не превосходящего 5, от слов С.и ^ йыли бы равны по модулю b J . Но поскольку \J G у $ ( Р ) » все производные веса, не превосходящего 4, равны нулю по модулю iO . Поэтому нужно рассмотреть только производные веса 5. Тогда, сравнение оказывается эквивалентным следующей системе уравнений: • ^