АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 1990 г.

мы будем использовать обоз- начевие У ; ,, г . . ч , ( W . Наше обобщение производных Локса основано на результате работы [Э]>- согласно которому Z F является кольцом сво­ бодных идеалов.. Более того,, если С - и { некоторая система свободных образующих группы d < F , то элементы | t’f c r образуют базу как свободного правого, так и свободного левого 2 F - модуля С' . Поэто­ му для произвольного U 6 Р можно естественным образом определить правые и левые С -производные с (Ы) и б/ ( и) , __ С .( так что тлеют место равенства: и - 2 - Ы. Ы ) С Л. - 1 ) - - 5 ит< 1 ” fjZr d ' ( и ) . Иногда, когда нам это будет ^ 1 , с* удобно,, вместо « • ( и ) С,( ди будем писать (соответ­ ственно вместо с( (U ) будем писать )» В дальнейшем без специальных оговорок будем предполагать, что ь группе d фиксирована система свободных образующих, и все С -дифференцирования определены для соответствующе!* базы идеала £ Можно определить также С -производные элемента U е С произвольного веса П. ; необходимо только, чтобы все про­ изводные элемента U веса, меньшего П „ принадлежали идеалу С • Если речь идет о произвольной -производной веса /1 от элемента Ц , будем, как правило, писать просто (л Ы ) , не указывая мультииндекса. Теперь сформулируем лемму, которая непосредственно сле­ дует из определений. Мы часто будем ею пользоваться, не указывая на это явно. ЛЕММА I . Пусть ^ - идеал кольца 2 ^ " ; и е С . Элемент U принадлежит идеалу С ^ ^ С ) тогда и только тогда, когда всякая его паевая (левая) С -производная Т67