АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 1990 г.

Л.2ММА 10. Пусть Wjj список всех базисных слов, от - носящихся к # . . Тогда для любого индекса ^ выполняется : Wj 1A w , - & ДОКАЗАТ ДЬСТВО. Пусть KjWc A(<>)- А . Тогда из определений базисной последовательности и базисного слова и м е е м : = h p Лемма доказана, JliMMA I I . Пели АД-Х& в &* , то X ■= VJi - • в группе 6- , где каж дое VJjj -базисное слово, относящееся к& . Доказательство будем проводить индукцией по "©(ч) . При 7>(X)=0 лемма очевидна. Пусть для ■?(*)/, гя ( r x i o i лемма справедлива. Докажем ее для rnei . Пусть Х = Н АНг .-. H t - представление. Тогда, по лемме 8, существует последовательность кортежей такая, что , Я С1С>=& . Пусть последовательность такова, что найдется число 1 , 2 , для которого такая последовательность существует, так как Тогда , Н ,. . . , А.'4' -б а зи сн а я последовательность для А , a w<= н4... НцН^-\ . Hji_ базисное сло­ во для Л . По лемме 10 : Wv_ i dCW А (в ) Рассмотрим положительное слово *4 = И, Hi ... Hvb-lV-Ц-и - И^к. е где ( * ) )С= \ N \ \ (9) (10) Из (0 ) и (10) и условий леммы следует, что $.''А=ЛАА. . Учитывая (9 ) и применяя индуктивное предположение, получаем 4 - \ N k ... Wp , где Wj - базисные слова для А . Отсюда y=W1...wf . Лемма доказана. ЛДУМА 12. Пусть -описок всех,базисных слов , относящихся к А • Тогда среди них найдется слово W такое, что Vslr-Л или '^1г:д.г . Доказательство леммы очевидно. ЛНММА 13. Пусть , где . Тогда где для любого^ - базисное слово для А- . ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Представим И в виде г г л ^ Л в £- , где X - некоторое положительное слово, откуда А д _г,гХ= A-Z vXal в (г , и, по лемме 5 имеем = в Q , а следовательно, и в . По лемме I I , X = .. .V i , z %О в G , где Vj - базис­ ное слово, относящееся к А . По лемме 12 либо д , либо д г - есть