АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 1990 г.

основа определяющего соотношения удовлетворяет условиям & фо , с /е//,,.„е } , ничего нового не дает. Лемма дока­ зана. ЛЕММА 23. В группе G- с одним определяющим соот­ ношением с кручением для любых двух элементов W, и U/i можно эффективно установить справедливость формулы: ( :iz e G ) ( :ir itZ )(2 ~ ,v r,B ‘ tcre.n) . ДОКАЗАТЕЛЬСТВО . Пусть элементы W, , W: iG- имеют бесконечный порядок (в противном случае задача решается тривиально). Выясним предварительно, справедлива ли в G фор­ мула: (3£€G )(im ,ne { Z \0 ] ) ( z . - UTe я ) .Допустим, что справедлива, и предположим,- что гсг,~ ( ~ - знак сопряженности элементов в G ) . Тогда получим, что К/’^ • В силу леммы 22 имеем |л'/эт I = I/гI , то есть к является делите­ лем п . Лемма доказана. ТЕОРЕМА 5 . Пусть !} - А * & - свободное произведе­ ние групп А и В , каждая из которых является группой с одним определяющим соотношением с кручением, объединенных по цикличес­ кой подгруппе. В G разрешима проблема сопряженности слов. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть А - < а , , - , а т,',г п,(а1/\п>1>) & * г П1(Ь),*1>1> и G = А, ... , г*'(аи), г П1(8;и), Ъ>1, i - U , Но a ) = V(tju) > - свободное произведение групп А и & , объединенных по изо­ морфным циклическим подгруппам А, - ffa j)* , Bi - < >, где At <А , А, <В . Пусть И/, , принадлежат сомножителю А и V/// 1 - 1 , 2 ) не сопряжено с элементом из объединяемой подгруп­ пы. Тогда в G , если и только если г/Аг в А . Пусть J f* * (O j) f f(O j) - элемент бесконечного поряд­ к а. Тогда, если v/, —^ , то I I г 1кг 1 , 146