АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 1990 г.

и l z( t , . . - , e) \ =rto . При ) 7 ( t,- ,C ) \ <По предполагаем, что в группе £ утверждение леммы справедливо. Пусть &t(z(tj Представим группу (г в виде HNN -группы ( r - < 1,Н; гееН, Г ' a t = '/(a) , V a e U , > . где Н ,Ut, Ш , ) . U-, и изоморфизм У* определены, как в лемме 20. Если , a/f/A то из соотношения г к г т2 следует l/w U U d . Пусть weHj 2 4 Н . Допустим, что K/eUi . циклически несократимо и 2=&0 te ,t& £...t &,I , где каждое /5// / =<Г/Г , не равное I , при­ надлежит £/, и ? a&i , где О е { а ^ , 6 ^ , —, cjuK} . Чтобы имело место соотношение iU /’"'2 1 ~ и / к , необходимо, чтобы 5/1 V fn &fi~te U - t . Однако из циклической несократимости и / а сле­ дует, что &/> lfrn В 'ji 4 P-i • Поэтому В, =■ .,-& /-! и в <г имеет место равенство &e t ' l W mt ^ Во UfK . Пусть t r>U/mt 'птicr”e l / t . Если Вв еС/, , то из соотношения t^ щ С б о * - W к ; выполняюще­ гося в V, , следует , | т I - I к I . Если 604 U , то в силу леммы 2 \m l =1*1 * 0 . Пусть 2 В , t S/> таково, что либо оно содержит такое , 0~ J <rl . что Utj- BjUeJt, * V-tj UCj f , , либо U,6t Uti Ф U, l/e , , либо U Sfl U, Ф Ui , Тогда из соотношения 2Ufm2 _/ - получим \nt\ - \ к \ - 0 . Если ur^Ui и для некоторого L e i U/‘ сопряжено с h e Ui , то , как и в предыдущем случае, можно пока­ зать, что из равенства 2 U/m 2 ~,*tfr‘e следует |/»Л = |v l . Если v/ е н таково, что и /1 ни для какого L e Z * не сопряжено ни с одним элементом из U , то из соотношения 2 ~'VJm2 * U2 * при г е Н следует, что |к/ г Im l . 'Пусть U/4H и и / - 1 ('6 , ~ циклически приведенное в (г слово. Тогда из соотношения г~ '* /тг * V /* получим I/пI = IкгI . Если ^ В е ' ^ . Л ^ В ^ . / ' б е ) где B e Н , то,сопрягая обе части равенства г~V0m2.?Uf* словом t ... i I получим вш е рассмотренный случай. Случай, когда 145