АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 1990 г.

подгруппы НЫМ -группы & есть подгруппы: Uf - < CjUte, l..) * , 1C/ - < Q ttftf 1 tfj/j, //, 6 M l! •■•J l> •“) > , V - фиксированный изоморфизм V на U - , , определяемый следую­ щим образом: <t(Qi)sQift,JUt *i*Mt, V(6j)-6/it, Mi * <■<Мг , ... ■■>^(Сц)-=-Сцн, М л <M « . Пусть U/,, Ще € - tUftU/t&H и каждое из , i - 1,2 , не сопряжено с элементом ни из Vi , ни из К / . Тогда, если в (? имеет место соотношение г ' ’ti/ii =U/t , то существует такое в'&Ц , что г ' Рассмотрим слу­ чай, когда каждое Щ сопряжено с h i ( lft , i ^1,2 . В силу леммы 17 можно считать, что . Цусть Ш, , lift цикли­ чески несократимы в Vi и существует такое , что BWi~=U$. Покажем, что z = / i t m , где т е 2 , h&Vi и tcrt Допус­ тим, что i - 6 a t e'S f . . . t tK6 н , где 6 к таково, что V.tKA«V, Фв^Ц* Для того чтобы B U /il’1 принадлежало Ui , необходимо, что­ бы ЛгЬ/т в 'к £& {к • Однако из леммы 2 следует, что в этом случае Wi - / . Пусть V ^A fl/r-V ^y , и бк=й'к е>к , где &UV ( k и бЦеЦ. Тогда ввиду циклической несократимости Ufif Sg lV /A ^'f V-tK , по­ этому B t V i i ' ^ V i • Из изложенного выше следует, что B - B0 t n , где те2 таково, что Щт - i mX/t t те (ft \ t - i t • Если V iteV t+ V iU i , то из равенства Ав Wtt, й » '~ и /г следует, что и/ц =и/г к -1 (лемма 2 ) . Цгсть ftA g fy-V il/f и . Тогда, ес­ ли 6 ,-в ,'6 о * , где e J e V , , Be" e V , . 6»"Ф Vi , то получим равен­ ство Sfu/mA'i ze'0 U/г а ' в , где А/гУщвЦ 'eV„ 6 V i . Однако по теореме 4 данное равенство в Н невозможно. Таким образом, S » eV t , W,KGVi , Следовательно, чтобы выяснить, сопряжены ли в (г элементы U/i , , принадлежащие Ifi , поступим так. Рас­ смотрим всевозможные слова Uf1t -t'u e .t ", (6 2 , u e^eV i . Для каждого U/ti выясним, существует ли такой i e V i , что 140