АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 1990 г.

элемента V , оканчивающуюся на t S ,t, и сопрягая затем элементом г ё А , если £ „ = - / , и £ € * / ( 4 ) , если &п - 1 . ЛЕМА 16. Дусть G- -& 1 « F , где 61 - группа с одним оп­ ределяющим соотношением с кручением и F - свободная группа. Если существует алгоритм, позволяющий для любого и любой магнусовой подгруппы установить, существует ли £££?, та­ кое, что г~ 1ШЕвМ > то в группе & рассматриваемая проблема тоже алгоритмически разрешима. Доказательство очевидно. лемм 17. Дусть &=< i ,a , 6 ,.- ,d ,c ; i* U ,...,c ) , п > 1 > - группа с одним определяющим соотношением с кручением. Существует алгоритм, позволяющий для любого элемента V/&G- и любой магну­ совой подгруппы М< (г установить, существует ли г е б - такое, что ДОКАЗАТЕЛЬСТВО . ' Если определяющее соотношение группы имеет вид 1 , то утверждение леммы очевидно. Рас­ смотрим группу G =< t,a ,e ,...,d ,C i г пи ,а ,...,с ),п > 1 >, определяющее соотношение которой циклически несократимо в свободной группе < t,Q , 6 r ;C> , содержит все образующие (т , \l(i> .:,C )\ - П 0 и г(1 ,...,с ) начинается на c s, 6 - t t . Предполагаем, что утвер­ ждение леммы справедливо для всех групп с одним определяющим со­ отношением с кручением с основой, удовлетворяющей, условию Ч И ,...,с ) \ < п 0 . Цусть 5 t(r (i,a ,...,d ,c ))-0 И VS - произвольный элемент £ , М : <а,,..,С> - магнусова подгруппа. Представим G в виде HNN -группы: & -< геС Н, t 'a t -У(а.), > , где / / , Ui , U-t t 'f указаны выше. Допустим, что существует такой г€& , что I 'p ieJU . , тогда <f( (U /)-0 . При этом, если • TIWl-Bi, V C' 6 i '■■i t t i ’ 6 t), где Ъ еН , то, сопрягая T(vr) словом Я - b t t t **, сведем решение рассматриваемой проблемы в группу И , где она разрешима в силу индуктивного предположе­ 136