АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 1990 г.

каждый элемент может быть представлен в виде ^ ^ д , где __ — Оо g s M i ; заметим, что Mt Допустим, что 5,1К/,и}-0, тогда и 5 ,1М г ) ~ 0 . Цусть и й , , v - v t ^ у где 'UU/tiebJ, i - t , t ,T (U )iM , ,T lv)&M t , и в группе N имеет место соотношение Т(КГ,) Г ( й ) Т / й / г ), причем T filrJ, 1 *{,2, имеет наименьшую слоговую длину среди представителей двойного класса смежности M t Г (Щ ) М , и удовлетворяет условиям XUT(W )M , ф Л М , (последнее следует из условия леммы). Пока­ жем, что если 7М )Т< й }= -Т (Р )Г /йЬ ) , то \\Т(КГ,)Л = НГЛЙ)И. Допустим противное. Пусть Т(&,),Т(йГг), TlV) принадлежат под­ группе N -N j, *' и каждое из них имеет сле­ дующее представление в V : T lifi) =£,&>... Am ,, Т(К /г)-& ,Ъг- &тг , T(V)=A,A»...Aa, т гй )£ П Н ; . Если S >( , то из соотноше- - «ПО V ния в,Й £... Am, Т ( й ) =А,Ае. ...As A ,'...£ lm£ ввиду того, что ll A,,..As & ' i 1\ * m -t-s+ f , следует, что слоговую длину Т(и/<) можно уменьшить, умножая на элементы из Alt . Таким образом, S - f , А, и &, содержатся в одном сомножителе, Т/v ) = А , ,т ,-т ц и 4 ...А » , €Ш )-А ,б ',,.. в'т, . Цусть b ftN j'+ i, ,В е б Ц , и л , 0 * 1 , , ‘ч * к П . Тогда, так как A , 6 h/j, +i, , то А, е M t ПН;, , здесь AliONn+i, является магнусовой подгруппой в . Видим, что данный случай сводится к вышерассмотренному. Исследование остальных случаев, в частности, когда fit (г) А О , Н е С } , ничего нового не дает. Лемма доказана. Прежде чем приступить к следующей лемме, сформулируем тео­ рему о сопряженности слов в НЫН -группах. ТЕОРША 6 Г4] . Пусть <х*- < i,& ;‘a tt (г, t 'a t = Ч(й), \/a eA <& > - некоторое ШН- расширение группы £ и t tn , V - Q j t* ’Q l ^ t t y n i l - сопряженные циклически приведенные элементы. Тогда и можно получить из V , выбрав подходящую циклическую перестановку V * 13