АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 1990 г.

( 5 ) Перу l*i У) , удовлетворяющую уравнению (5 ), назовем минимальной, если для всякого другого решения (х,,у,) уравнения (5) выполняются соотношения: я <Xi , 1/<У>. Цусть (Хо,у0) _ иско­ мая минимальная пара, тогда Т(Ш)ЛТ(Х/о)а TW)**ho = T(v)*et где A t Щ • Обозначим Т Ш л ГГ vj)h Т(Ш) *• = 6 L , Ш ! * ' = р . Допус­ тим, что слова Т(и/) ,ТЩ ) удовлетворяют условию 177*/Дг — то есть 3 -/1 . В противном случае заменим их соответственно словами та'*ТСШ)г\ и i/'^ r ( V ) Zl , где г,,7г б Z , (г„ 1 Х) = /, 7 , 5 , ? ^ . Из условия ZYl (ft>)T(Uf)* —Т( v ) п следует, что =Л Q W ) k , --РТ Ы ) , Ч- г РТ^> U , (6) где h / t l f c I , <■- О, t,.... Из соотношений ( 6 ) получим < W = Vt, к*..., vr,lh- = и-/,,.. , ( 7 ) где Ю/ - h t ' l M h » , If, = Tftr), h i ^ h o 'h i , i - 1 ,3 ,... . Предположим, что A# циклически несократимо в свободной груп­ пе tfy .И з ( 7 ) следуют соотношения: Vi 'hi Vi =h",, V, V, tx 'rf-h i,.., (8) . U . / , где A?-A; h i , , , i . Допустим, что в слове if/ =T(if) З о -б , * ... = 6 j - i * 1, О < /г ■ Тогда iTt --t£rJ 6 j t S"'... i \ , подставив в соотношение Vf'h), U,-к', выражение If, , будем иметь: I т ( т ) л zno iU |f . f x | u r n - y \ u v ) \ t . b p ' f \ . t b 1 I ± * J " (A jh .j& jH - =h", (9) где J , h ,j 6 U-tt • Из соотношения (9) следует, что А/'Л,, 3 j . При этом воз­ можны случаи: < а)К * ( А у ^ „ ; (б Ж ё . Щ , , * В случае ( а ) 6 , 6 , „ к - / , 3 j e U .t , , 3 , =-E j а , где й - С " , если и Q - С р , если 6 } 1 1 = - 1 , В силу цикличес- 129