АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 1990 г.

содержатся в свободной группе <t,Q,...,d> и для того, чтобы для некоторого V/ 6 & в & имело место соотношение М,юМг -М,Мг., необходимо, чтобы VS£ < t,...,d> . В свободной группе эта пробле­ ма алгоритмически разрешима С7 ]. Пусть утверждение леммы спра­ ведливо для всех групп с одним определяющим соотношением с кру­ чением, основа определяющего соотношения которых удовлетворяет условию lz tt,a ,...,d ,C )\ <По . Докажем утверждение для групп l n ( t , Q , 6 ,...,d ,c ) , m > f > . у которых \zH ,a ,...,d ,C )\- п 0. Пусть z(t,a,...,C ) циклически несократимо, со­ держит все образующие группы £ , &(l(t,...,C)) - 0 и ги,...,с) начи­ нается образующим С 1 , L - t i . Представим & в виде HNH - расширения & l e t Н, t ' 1a t - d (a ) , У а с 1 У,> , где H - <Q , ..... Si, ~ .,d i, ...,Cju,..,, eM a e Z ) i S m> , Щ “ ■/ C j i , . . . , C m - i ( i ( Z ) > , V ( ( / t ) T t где lf-i - <di, •»*, Si , d, , Cp+it Сщ , КЛ 'Ко-,) = 0 ,* ,,.... j U s / s m , ty c /)-C j+ ' . Обозначим через в образующих переписывающий слова группы G а " , а Т процесс, c ff) в слова в образующих t f t i t Л! . . . _ tt _и .... .................................. Цусть магнусовы подгруппы М, и Мг не содержат образующий t . Обозначим через подгруппы M i , (-/,«? , заданные на образующих из Y . Пусть j oeG и T (w )tH . Тогда, так как X(lLi)<H, i - 1,1 , ISl</7*, то в силу индуктивного предположения утверждение леммы справедливо. Если Т ( Ш Н , то Mi lUJUt Рассмотрим случай, когда одна из подгрупп M i, например, Мг , не содержит образующий t . Цусть М, -< t,a ,...,d> , JUt -< 0 ,-,d,C '> , тогда Z ( M , ) z < t , ... . dj , ... ( i( 2 ) > , T (M i)-< ae,...,ct»,...,Co^. Подгруппы T(Mi) и М ,- <Ot, iSl,.:,di / i f %)'> принадлежат H . Цусть Z (u /)tH , Т(\£г)?К,Нг , где ht e T(Mt ) , i- -/,2 . Тогда /) ,е М ,, Ш