АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 1990 г.

сомножителем в u ( i j . Назовем % /i(/) типом х Q ) [4 ] . Мощ­ ность множества всея типов, соответствующих подгруппе Н , порожденной нильсеновскип :нопество:л W={W;}t=£ff , когда д пробегает F , а /I - множество Р\Ш , не превосходит числа rf= 2 L L (u ). Пусть L0=m a xU (u r) liM tW j . Тогда подгруп­ пе Н поставим в соответствие число К(Н)= 4+ L 0 . ЛЕША 8 С4] . Пусть Н - конечно порожденная подгруппа свободной группы F и пусть g eF 1 д $Н и J п , д п*Н . Тогда, ес­ ли п> К (Н ) . то существует п '< п • такое, ч т о £ п е//. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть д= сх(1 )...х(к)е~ [ х(1с)х(1)ф / Тогда существуют i и 1 * x,jtn .такие, что %п (‘k ) = ^ QkX то есть (tiik),fi(i-k))*((-(jk)j ji(jk)) , откуда rtik)~u(it)-r(jk)-u(<-a\ /i(ik)=./x(jkJ, x(ik )= xQ k )= x и g lu n =cx(i).,.x(k) ...х (х к )и п = * и (1 )..и ((гО “л Х и * . где и ( ( , ) =и ~ и л х и п> = CX(f)... х (к )... х ((к ) ... х (}к )и п = U ft). ..UF ^)UAXUn j где U( ii)= U . Отсюда следует, что если в произведении д а= и (О. .. U (tr f)uAx u n .. .и(1л- i)uAх и а u (ix+i). .. u f m ) удалить ПОДСЛОВО Un U (i/O ...U (t'yf)UA X , то получим слово, g n '=u(t},. u (t,-/)uu (ii +t)..Mm *H, удовлетворяющее заключению леммы. ЛЕША 9 f 4 j .-Пусть Н - конечно порожденная подгруп­ па свободной группы F и пусть g e F 1 д$Н , ^ L(c) « ^ д а циклически несократимо. Если Н $ )> л п+Хс, то существует слово у ’ такое, что Ucgl)< L (g \(g 1) '1 1 н и ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть д = с х ( 1 ) . . . х ( к ) с \ x ( k ) x l O ~ l д д Н , Jn. ( д п *Н ) Тогда из соотношения: exit)... х ( 0 . .. x f j ) ... хС k)x(k+ f) ,. x (k n )c L u d ).. u ( m j ( 14 ) определяем отображение: * &д п : - * (R ln)><Z+)\ ra e V ' . P ® - . R ~ {w u w -* it . ..}, следующим образом: Кг (/< i< k) Од п(0=С^п(0, %ntk)t ...,tyift*k{n-/j). Назовем отображение Одп(х) обобщенным типом. Очевидно, для каждого , когда $ пробег&ет F , существует ко- нечйое число *п (Ч ) обобщенных типов, соответствующих под­ группе Н . Действительно, Ут (к1)=йт +1д . По условию ле-гн L ( ^ > k ! m W • поэтому существуют i , / t n . i , j < k , такие, ЧТО Qnn(i)-~ ВоП ( j ) ‘теперь легко показать, что вместо слова II