АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 1990 г.

все образующие Q ^ lzJ T ri, группы F ~< an t f ,..,a nt.m ...> - свободная группа. Тогда свободную подгруппу М < £ назовем магнусовой, если она задана на множестве / , с / . JIEMviA I . Пусть & z G, * F , где G-t - группа с од­ ним определяющим соотношением, F - свободная группа. Тогда, если для любых двух магнусовых подгрупп М , ,М г из & и лю­ бого QtGt из условия М , gjUi следует д'М 'ЯПМг-Е, то группа G наследует это свойство G-, . Доказательство очевидно. ЛЕММА 2:. Цусть G г <а„...,ая;2'п(а,,.. ,а п), т>1> - группа с одним определяющим соотношением с кручением ,М /,М г~ магнусовы подгруппы & , q eG таково, что фМ,Лг . Тогда д '% д (Ш й =Е. Доказательство проводится методом математической индукции по длине основы Ziai,..., 0 „ ) определяющего соотношения 2 пУй,,...,ап) группы & и по числу образующих. Если G =<ah~;an n CJ c"',rn>1>, то утверждение очевидно. Допустим, что утверждение леммы спра­ ведливо для всех групп с одним определяющим соотношением с кручением и с основой определяющего соотношения, удовлетворя­ ющей условию ] 7 (а /,-,О п )\<П 0 О г! обозначает длину сло­ ва г в свободной группе). Рассмотрим группу 6-~<i,a,3l...1d,C; Zn (i,Q,d,...1d,c),m>1> . Основа z(i,a,d,:.,C I содержит все образующие & , циклически несократима, начинается с С 1 , £ - 2 7 и удовлетворяет усло­ вию \l(t,...,c)\ =По . Цусть tTftz) =О , и в £ имеет место соотношение Z u l - V , где LUJU,, гГ€Мг , ( 6 t (l) ~ показателей по Г в слове г). Представим & в виде HNN - расширения группы Н - Si , . . di , ..-Cju<d jun , . . С# (1й2); $ m > 105