АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 1990 г.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть //„<//, <нА *... < Н„ < .. - последо­ вательность подгрупп из F , каждая Hiff получается лз //£ с помощью корневого расширения, то есть k/t *r= ) На основаны; лем.гы 5 существует п= п0 , такое, что НЛо=Нй^ / - - . то есть цепочка^подгрупп (12) стабилизируется. Рассмотрим подгруппу . Очевидно, что $ = н п0 и является Я - изолированной подгруппой, содержащей подгруппу Н~Н0 , Следовательно, Зл -(//о )<& Докажем, что Н $ Зл (На) . Доказательство проведем по длине цепочки Н ~На <Hi <нг <... < , гце н = р ‘ ц с . Пусть соотношение 7л (к0)бИ справедливо .для каждой конеч­ но порожденной подгруппы H<F , у которой дайна возраста­ ющей цепочки подгрупп (12) равна к , к<п„ . Пусть к =п0. Допусти:.?, что £?,. - слово, которое :.и присоединяем к На , то есть </Нс , 3/1 , /1 9 '? , д ? *Н 0 , Н ,=<Н 0 > . Так как , то Ht <7л (На ) и Z t (Н0 ) является Л - изо­ лированной подгруппой, содержащей //, , поэтому Zr(Pt)<Zx (Р0). Из условля На <Н, следует, что 0х (Но)<-7л (Н ,) ^ ^ . Таким образом, Jx (Н0) . Поскольку ‘ то в силу индуктивного предположения R * 7$ (W, ) . Отсюда Н& 7Л (Н0) и Н - 7 Л (Н0\ ТЕОРЕЛ I . Пусть Н - конечно порожденная подгруппа свободной группы F , и Я - произвольное подмножество мно­ жества простых чисел Р , тогда йх (Н) - конечно порожденная подгруппа. Доказательство теоремы непосредственно следует из лемм 5 и 6 . Пусть H<Ft W={u^,i - нильсеновекое множество обра­ зующих подгруппы Н и t? -cx (i)... x(k )c 't х ( к ) х ( 0 ^ / , такое, что 3 / г ~ Р \ Я , . Тогда д п = с х О ) . . л ( к ) х ( к н ) ... * (/tl< )c ~ '~ u ( 0 . . . u ( m ) i ( 1 3 ) где u ( t ) * i W u W"'} t х ( к ),., х ( ц к ) С ' - несократимая запись образующих F , и(1).. и (т )~ запись $ /г в вильсо­ новский Ъбразупщих подгруппы Н . Каждое x ( i ) и з . соотноше­ ния (13) в силу свойств нпльсеновского множества содержи»ся в некотором u / j ) . Из равенства (13) определим отображения: .. . к ) * ( R * z * ) . где R m 0 v u w ,}> слодуга;:::: образом: V^/i У , где пара (r(]) p ( j ) ) обозначает, что it( 0 * R и чатя етол f i ( f ) - « 10