АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 1986 г.

Г - « , 6~&S. (Г(1) <Гсг-г) z - t 'z. &(%) = r , <Г7т-л>=г- f Продолжая этот процесс, получим тождество нильпотентности, выполненное в £ : х , • f ■ Х ъ ~ о . Подставляя вместо . эле­ менты а .Л jf. i , j f i & L , получим тождество лиевой нильпотентнос­ ти, выполненное в L : •• * . Мы пока­ зали, что если A d (х удовлетворяет полиномиальному тождеству, алгебра L удовлетворяет тождеству лиевой нильпотентности не­ которой степени, не зависящей от выбора алгебры L . Д о к а з а т е л ь с т в о т е о р е м ы 2 Пусть 7TL<>7L порождено специальной алгеброй Лк. Тогда мно­ го о бр а зи е (7L. заданное Г -идеалом LI+ У, 1 +У ] , порождено специальной алгеброй Ли [4]. Следовательно, I +У содержит тож­ дество [ Ху у ] (иначе, по. теореме I , м ногообрази е^, не порож­ дено специальной алгеброй Ли). Поэтому £ или У содержит тождество . Осталось заметить, что MZ и 1Z порождены специальной алгеброй Ли, так как являютея подмногообразиями многообразия 7ft ° 71[4]. ^ О Пусть T7Z порождено специальной алгеброй Ли. Обозначим че­ рез /2 свободную алгебру Ли / ( / ) с бесконечным множеством образующих. Тогда идеал У , соответствующий 77 , имеет вид: У - / или 7 = [ /?' It]. Так как A d O f / { £ у£ ] ) - асо'оциативная Р / -алгебра, алгебра /? /£Т ,/? ] - специальна [4 ]. Осталось про­ верить , что X = А Л / #■/[Г ;[)?, # ] ] ) - /^ - а л г е б р а . Пусть A d ( It / f ) удовлетворяет полилинейному тождеству £ { Х { . . . . . . . ,Х г)=0. Покажем, что 5 удовлетворяет тождеству / (X /. . . . .X - t ) С%ъ +4у X z + t \ ~ (У • Пусть 5 f_, . , . , S ’n - 2 . - про- иэведения элементов вида л d y . , где у , I 4 £ / [ Г }1К ,Х£] Тогда 2 t f S , ; .. • ,$*.)<£ У / I X , £ X, £ ) ] , • Заметим, Что LSx+t, $ x + i l после преобразования состоит из суммы произве­ дений элементов ft ety. (у , 2 , t £ Д/ f J ; f X ,7 1 ] . где в каж­ дое произведение обязательно входит элемент С л У 2 , а Л jtj = - i x d f . Поэтому г / f S f , • • г , . 1 Из [4] следует, что * / { £ J .? , I6TJ - .специальная адтебра Ли.. "96