АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 1986 г.

o~ci ' i e L I XJ . Пусть i - элемент £ . Нам надо дока­ зать равенство = а Пусть переменная X не входит в запись элементов с , , . , S £ (даже в виде , а-Л*дх ) . Подставим в равенство (I) вместо переменной X с , i ч * j элемент i p ( x ) z • Согласно равен­ ству (5) можно считать, что S ; ( х ) г лежит в I . Вместо пере- ( манной X j подставим S j t x ) ^ . Учитывая, что оператор ( х ) г коммутирует с элементами cdy j у £ L.LX ] и 0 )х- } х с- ¥- х . » а также равенство (В), получим равенство 1_ 1 X. (L-1 5(у(г) г ) о й <Г S <r(-1> £- 1 0£SZ )OU/-J Следовательно, для люОого j , .«, & справедливо равенство * Д t £ - 1> J s xs w * ! ' * S(r“ ) ' ' ' s<r(Z) = ° - Так как в процессе доказательства мы не на 1 ушдывали на t никаких ограничений, тождество (2) доказано. Тождество (2) выполнено в Т • Следовательно, в J выполне­ но тождество 2Г ( с - 1 ) 2. Я (Г x m i) ■irctj = о. с~/ Продолжая этот процесс, получим систему тождеств , Z ( L - 1 ) Ж’ - *<ГХ Г « ) ' ' ' x < f(v ^ ° - С-1 Решая систему линейных уравнений в свободной алгебре мно­ гообразия ассоциативных алгебр, порожденного алгеброй I , по­ лучим систему тождеств 2 - Я Г Х (Т(1) х <гп> = ^ 16) t = 2 , , , , j j = f ) , } 2Лопределитель системы это определи­ тель Ван дер Монда). Предположим, что тождество (I) записано так, что * о для тоздеотвенной подстановки i d . Запишем тождество (6) для i - j = г . Получим ^ я <г х Ге„ • * . * г = а Это тождество выполнено в I . Следовательно, в 1 выполнено тождество 2 - Яд- х • 1 -*<Ггг - О х г '«■ О. О6rb-i_ w ' ' STl ) » J где / j = /} , , , f t - / • Запишем полученное тождество для i = j = 2 - i ■ Получим