АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 1986 г.

и свободная алгебра многообразия 171 71 для произвольного 77Z [4 ]. Доказательство теоремы I . Учитывая лемму I,достаточно рас­ смотреть случай, когда )% -многообразие абелевых алгебр. ь Пусть L - произвольная алгебра многообразия 77Z. Рассмот­ рим алгебру Ли L L X ] многочленов от счетного числа коммутирую­ щих переменных с коэффициентами из L , изоморфную тензорному произведению L на алребру многочленов L [ X ] — L F [ X] Пусть J j x - , Х с ( г Х - дифференцирование L L X ] , заданное к мономах формулой CL X Jf, X- •1■ X г . - & oLt X/ +>-1 ы. 1 с л . Легко проверить, что о#* /д е . а 6 L ) х и - * ‘ > * г * X ---------------- „------------------- t действительно дифференцирование и отображения J ) x , коммутируют между собой. Отметим также, что L t X ] £ Т)Ъ Рассмотрим абелеву алгебру Ли <4 с базисом J ) x ■ и возьмем полупрямое произведение Сс алгебры А ш L 1-7] . Алгебра С- лежит в 711 71 , Рассмотрим левый идеал 1 алгебры ., рожденный элементами a d у.* }у. е L L X 9 . Предположим, что удовлетворяет тождеству 2 1 ЛГГХГГ^\ • * ' Х(С/г ) = (Г £ F ( I ) с~ т Покажем, что тогда j удовлетворяет тождеству X ( l - Й<Г Х (Г(4) 4 ■ “X CT(Z) ~ 0 > j = 6 " V т • ( 2 ) <■*(' ' ' — V 0(l )'JaJ / f Л Введем на алгебра L*- л J оператор умножения на X £- оправа Обозначим его через ( x i ) i • Пусть 7 - элемент LL X ] , не завися­ щий от переменной X £ . Тогда справедливы равенства: I t ( * { ) * V * =0; / , • • • • 13) Для любых элементов i 6 L l X ] справедливы равенства: i ( х <)•z. ^ ~ ^ ^ х - (4) t a d ( х c ) r - i л d. ( ^ ( X - ) % )'} Достаточно проверить вшюАшость тождества (2) на моноя S f из J , равных произведению элементов } ^ е L f У1 и a d j ) * . , 6 которых крайний правый сомножитель имеет вид