АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 1986 г.

дои L Т , ?], назовем произведением многообразий 771 и 77- . Отме­ тим, что эта операция произведения многообразий коммутативна. Т е о р е м а Ктеорема 6 .5 .3 L I J ) . Пусть F - поде характе­ ристики ноль. Произведение 77? 7? многообразий алгебр Ли в смыс­ ле Шмелькина-Ноймана пороадено специальной алгеброй Ли тогда и только тогда, когда 7? - многообразие абелевых алгебр, а Ж - „ вильпбтентннх алгебр, ограниченной степени. , Т е о р е I. а 2(теорема 6 .5 .4 ( j J ) . Пусть F - поле харак­ теристики ноль. Произведение многообразий алгебр Ли Ш 07? по­ рождено специальной алгеброй тогда и только тогда, когда 7L - многообразие абелевых алгебр или тривиальное многообразие, сос­ тоящее из нулевой алгебры, а ТУС поррждено социальной ал­ геброй Ли (возможно Ж £ 7? меняются ролями). Д о к а з а т е л ь с т в о т е о р е м ы I Т е о р е м а А ( 15]). Пусть L - конечнцмерная алгебра Ли над полем К характеристики ноль. Универсальная обертывающая алгебра IL для алгебры L тогда и только тогда является £Т - алгеброй, когда L -абелева. Л е м м а I. Пусть F - поле характеристики ноль. Если мно­ гообразие ТС имеет неабелеву алгебру, то свободная алгобра многообразия 771 71 с бесконечным множеством образующих не спе­ циальна. Д о к а з а т е л ь с т в о . Рассмотрим овободную алгебру Я Х ) многообразия 7? ‘.' Она неабелева. •Следовательно, по тео­ реме А гз универсальная обертывающая алгебра 1C не является f j -алгеброй. Считаем, что I I с единицей. Рассмотрим правое регулярное предотавлекие I I . Таким образом, 1C превращается в точный правый 1C -модуль. Используя вложение F ( X ) d IL , рассмотрим IL как f (X )-модуль. Обозначим его через М . Рассмотрим М как алгебру Ли с нулевым умножением и возьмем полупрямой произведение Сс алгебры F (X ) на алгебру М [&, о . I ? J. Рассмотрим алгебру А С Сс . Ясно, что,ограничивая действие элементов алгебры А ССс на А/, мы полупим гомоморфизм к<1 d яа алгебру 1C , Поэтому А «? Сс не является 2 I -алгеб­ рой и свободная алгебра многообразия 771 71 не 5 7 1 -алгебра Ли, если - многообразие абелевых алгебр ^4 1. Такой же будет _РЗ - ■о