АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 1986 г.

див к лемма I ) , мы получим гомоморфизм ф,Луч_ , разделяющий классы Af А и А-p А . Итак, условно 1) из леммы 2 выполнено. Для проверки усло­ вия 2 ) достаточно доказать олодующее ПРадоИНИЕ 7 . Для любых злемонтов g ,. | а 4 (£?:1) группы Q , но лежащих в подгруппе A s и любых целых чисел i p - l j , . , . , i ^ , среди которых хотя бы одно отлично от нуля, найдутся числа vw. и w , где к |>ч= i (ыс<1 и ) , такие, что сиотеш сравнений 2 * а 1ч' +1н/' (vnoi (6) (.1 ' 1, - i , . . , , L и L i t приведено no модулю i ) не имеет решений.' ДОКАЗАТЕЛЬСТВОПусть, напротив, для любых целых чиоел 1 -л I и таких, что к ^ = i (u*oi к ) система (6) разре- ш л а . Используя каноническую запись элементов Зг- 3 i ; ~ J 3*> ’ перепишем систему Со) в виде СГ* а Н Р: 5 17) ( I •» 1, 2 , . .л, ^ и 1 + 1 приведено по модулю *> ) , причем числа р , . р А, р \ отличны от нуля, ток как элементы 3 ,, 9 г,--^ 3 ь не входят в подгруппу А Потребуем теперь, чтобы число п. было взаимно просто с каждым из чисел <, р, Р<, - , fn » а показатель из , котором;, нршшдоакит к по модулю и, " , но являлся делителем хотя бы одного из чисел t ,,, + А , "t ^ .'Л егко видать, что такое гг оуществует, т .к . среди чисел t , ,4:А, . - е с т ь ненулевые 11уст^ Ъ4 - решение системы ( 7) ; тогда в группы 0 > ,л выполнены равенотва JL“P: q } ' ( iPl = с > ‘^ < ( «.«-I а ...... , а 1+1 приведено по модулю S ).' При атом можно считать, что числа г , , 4 t > _v Ъ ^ неотрицательны, Переиисав наши равенотва в виде СГ'-Ч I ' р: с У X с ’1;’ Г 'г‘ +* ;” гГ * Приходим к систоме ^лшопств