АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 1986 г.

Напомним, что подмножество X. некоторой группы G называется финитно отделидам в группе О- , если для любого элемента 3 t Q не лежащего в X , найдется гомоморфизм ф группы G в конечную группу, при котором g<f 4 Я У. ПРВДПОНЕНИЕ 6 ; Каждый смежный класс по двойному модулю (А , А) финитно отделш в группе Q = < а , 0 .-= ДОКАЗАТЕЛЬСТВОПокажем сначала, что подгруппа А Фи­ нитно отделима в группе Q у Очевидно* что для любых чисел №. и и. таких, что k w е l (mod h) подгруппа порождается в группе элементом С J Пусть элемент g tQ не лежит в подгруппе А ; Тогда в кан-няческой записи элемента 3 *» в ? St показатель А отличен от нуля; Легко видеть* Далее, что . , . к ,1 С> Л4Г где число к' удовлетворяет орошению ю к ' е I ( n o d и ). Следовательно, лежит в подгруппе АФМи в точнооти тогда, когда &К'" 2 О (t*io J к ') , л или, т . к ; ( k.1, * ) * i s О ( n o d О ? Поэтому, взяв чибла К и и . таи, чтобы ^ не делилооь на и. %' получим гемшорфры у*,* * отделяющий элемент g от подгрупш Д . Переходя к общему случаю, предположим; что элементы •£ и 3 - гр&шы G принадлежат р злнчным классам по двойному модулю. (A j А'). Р /читывая уже Доказанную отделиыооть подгруппы ' А ' ' и НспорЛуя канонический вид элементов групш G вмеоте чС а е определяющим Соотношением, без нотери общности можно счи­ тать* ;чтя I A , з « , где ъ и а -р а з л и ч ­ ные делые числа, не делящиеся ца к ? Пуозсь в рруппе выполнено равенство Для некоторых неотрицательных чиоел р г ч ; Тогда откуда, ввиду предложения I аодучаем ’l ( и*оДп) . Следователейо, выбирая ^дсда- m ж К так* чтобы \ и Л оказались в разных йлаооад (к , h ) -эквивалентности (см.'оледот- •'•V' ' ' ' ' ' "" _89 _