АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 1986 г.

образы этих элементов не сопряжены." Поскольку группа Q финит­ но аппроксимируема (хорошо известный факт, который легко уста­ новить с помощью гомоморфизмов )', тем самым доказано, что группа Q- финитно аппроксимируема относительно сопряженности." § 3." Завершение доказательства теоремы Как уже отмечалось во введении, группа Q- ( t , к ) являет­ ся свободным произведением группы G- *= < а, Ь ; ОТ*& а - ?>* > и бесконечной циклической группы о объединенной подгруппой А , порождаемой в группе элементом а ; Для доказательства финитной аппроксимируемости относительно сопряженности группы G- мы воспользуемся следущим утверждением, доказатель­ ство которого будет опубликовано в другом месте: Л е м м а 2 . Дуоть О- - финитно аппроксимируемая относи­ тельно сопряженности группа} Q- - элемент конечного порядка группы G и А - подгруппа, порожденная элементом а. • ? Предположим кроме того, что 1) каждый смежный клаоо по двойному модулю (.А, А) финит­ но отделим в группе G } 2 ) для любых элементов >9а. >— ^ 6 G VA и любой последовательности целых чисел -t4 -t- ■сиотема уравнений (относительно неизвестных , х х t у 4 ) где l = i , 4 , ..., Л, и число i-ч 1 приведено по модулю 4 ’ .ор еш ка в группе Q- тогда и только тогда, когда она разре­ шала по модулю любой нормальной подгруппы конечного индекоа группы Q . Тогда группа <*'** ССг *И ; а » * ы) - овободаое произведение группы Сг и бесконечной циклической группы Ц , порождаемой элементом , о объединенными под­ группами А и - финитна ашгрокоимируема относительно со­ пряженности; Таким образом, для доказательства нашей теоремы достаточ­ но проварить, что группа Q = - < a , 6 ; ОТ1 fc 0. е fe*- > и ее подгруппа Д удовлетворяют условиям I ) и 2) сформулиро­ ванной леммы.’