АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 1986 г.

m. = О , то к > о • Элемент g. , очевидно, сопряжен о эле­ ментом а'"' ^ . Если 1 ^ ~ о , запишем число п в виде П = K ' i , где 1 0 и £ не делится на к . Тогда 0 . H V 1 = fe4 € М/. Пусть щ > о и пусть число -i 6 ’pm лежит в том же клао- ое ( к , ) -эквивалентности, что и число а • Тогда дня , подходящих целых чисел i >. О и -У справедливо равенство ь = £ + -X (К * - i)^ и потому ( а ^ И ' 1 ( а * ft*) ( < ^ Г ) s = = а Г Г к ^ + к+* '+-^ = a " V e W . Остается показать, что различные элементы вида и?" , где иГ е К / , С -■t i , не сопряжены в группе Q . Это будет сле­ довать из следующего утверждения: е> ПРЕДЛОЖЕНИЕ 5 . Для любых двух различных элементов U. и ^ из множества W и и / ~ 1 найдутся положительные целые числа ^ и и. , где ~ I (w\od ю) такие, что элементы а и не сопряжены в группе G|„h . ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Если элементы а и 0" тлеют разные по­ казатели при Q. , то для подходящего чиола ке элементы U 4 >tal J О'Фкнд различны п конечной циклической группе Q№1 . Поэто­ му достаточно рассмотреть два случая: а) u. * a w'b M< , J - t . где ^ > 0 , а и H j - различные элементы множества Тм ; б) и. а Q*' , , где - различные цолые чиола, не делящиеся на к В случае а) числа у \ л и не являются ( к , -эк ­ вивалентными. Поэтому при v\ ^ jtcv" - i | элементы ич,п,„= d.*i и С- dL J на сопряжены в группе Q,.,^ ввиду предложения 2 : В случае б) следует воспользоваться следствием к лемме I : для подходящего к - Ik ’M i чиола н А и не янляютоя (к,к) - эквивалентными. Тогда элемонты а т и d 1'*- снова не оопряжода в группе G Из предложений 4 и 5 следует, что для любых двух неединич- ных эломонтов группы Q , не сопряженных в этой группе, суще­ ствует, гомоморфизм гругты Q в конечную группу, при котором