АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 1986 г.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ Г. Группа Q ^ к является конечной группой по­ рядка vmk , Каждый элемент ее однозначно записывается в виде c 4 J ' в частности,порядки элементов с и i равны т и к , соответ­ ственно. ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2 . Для любых целых чисел "г и 5. элементы d'1 и ol ^ сопряжены в группе G-и,*, тогда и только тогда, ко­ гда числа \ и -*> (к,^ -эк ви в а л ен тны . , В самом деле, для любого элемента ^ = с 1 d J группы равенство д"* сРц = А равносильно равенству с L , кдторое, в свою очередь, может быть переписано в виде « Г ‘Ч А ‘. Следовательно, элементы cl* и el5, сопряжены в точности тогда, когда для подходящего 1 > о х Ч = л, ( w o A k ) Пусть для каждого с. е Z ^ ^ обозначает эломент a 1& d ‘ группы Q . Слодущее утверждение хорошо известно и легко про­ веряется. ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3 . Каждый элемент группы G однозначно пред­ ставим в виде о . • где т , л , Ч - целые числа, и если ^ > 0 , то П. но делится на К . '• Этот вид элементов группы Q будем называть каноническим. Для каждого положительного целого числа ип. зафиксируем множество чисел, взятых по одному из каждого клаооа Ск , I k 1" - 11) -эквивалентных чисел. Обозначим " далее через W множество элементов группы Gr вида а.‘“ 6и' ,гд е 0 , причсР^если , то п > О и п. не делится на К , а если и* •> о , то n l f TU. . • ПРЕДЛОЖЕНИЕ 4 . Каждый ноедишташй элемент Группы Q .со­ пряжен с одним и только одним элементом вида u,vC , где tCre W f c - i 1 - ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Зализом элемент ^ с- Q в канонической форме . указанной в предложении 3 . Заменял в случае необходимости эле­ мент о его обратит,», можем считать, что и.-,> Q , а если -