АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 1986 г.

■ Видим, что выполняется условие (3 .1 ) леммы 3, причем при Л п * / пслученные последовательности и \ различны. Следовательно, при m > i число является несвободным. Д л я т е о р е м а доказывается аналогично. Здесь в качес­ тве берем fri/ - уи ) - i , а - циклическая последовательность i •*>, t, Ч -*» , Доказательство теоремы существенно упрощается, если известно, что м - четное. ТЬгда для / / = мо*но взять полуопределяю­ щую последовательность / , 4/1* , a nnn/ v = 2j^ - _ последовательность ^/п/ -/?, ~ { , I , -4 н '. С л е д с т в и е I , Рациональные числа вида ^ , где \^к!<2, являются несвободными. Д о к а з а т е л ь о т в о . Так как можно считать (6 , , то п\= 6& ± 1 . ДЬгда несвобода^ = Д; следует из несвободы чисел А ^ г г . доказанной в теореме_1. Несвобода чисел вида показана С.В.Лыченковым в [4 ]. Для доказательства несвободы предварительно докажем несколько лемм. Л е м м а 4. Пуст . J - ( - ^ , (Q,^ ) ~ i , <* = с (и*-ос/а1) и выполняется одно из условий (4 .1 ) (4 .2 ) (4 .3 ) (4 .4 ) с * Ц ±1 ; с = ± 3 / ± 8 , с - ± С , : ^ £ > 2 ) ° Г - с ег-с С — * 2 . ( О ) С = ± 9 , ^ * I ; а и С» и в нечетны; нечетны. ДЬгда точка несйббодна. Д о к а з а т е л ь с т в о . Рассмотрим наиболее сложные и ха­ рактерные случаи. Пусть выполняется условие ( 4 .2 ) и с = ± £ . То­ гда ( г=. ± 8 ь а г А , 1 > 1 . Тогда <я нечетно, о 1 = { ( наос / 8 ) , и ^ z= Д (rru>d 8 ) . Отсюда / = О, / ) У( ии>с/ 8 ) , Строим полуопре- деляющую последовательность:; / = • / . Тогда у детермини- n»nn~-v------- -------------- - • • - 1огда # рованной последовательности Хс~ & , ^ = ■ Если / э 0 ( и н о е / ! ) , то f G1 , и xv =0 . Если iW< *<**/$, то ^ ^ ~ « К * ^ - i > bs = - / , «■ О . Ес­ ли г Ц (n-i.cc/8 ) , то Л, = + 8 Z , Xv = - = / , Г, = У , W ,