АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 1986 г.

О-приведениях обязательно произойдут два одинаковых, то есть йудем иметь Q - /З^/ЗуД 8 <Ti и £ i / Цусть, для определённости, Oi^ (Гя. .Обозначим (Р3= <f~i — „^и t -<£Я~ Ал , после очевидных преобразований получим - В ^ -Так как любая степень £3 неприводима, то |(Г|=/£|.Ио теореме В ? А и 5” B i l B x S , входя в цент­ рализатор элемента S t B + B i y S . являются степенями одного итого же элемента, а,(следовательно, J ‘,/3.2 /3-У J* и 8-У /Зй., * входя в централизатор Оле!., нта (13J IS z) , являются ^степенями однор и того же аиемента.Пусть J> l3u. B x S * — 2 - ' и /3 d в я - г 2 1, то о с т ь - 2 - ^ г1.Так как В имеет бесконечный поря­ док, то |*^1/=/^М.Поэтому инеем S B x B x S — В у /З л и л и S B i - B i f - 0 i /Ту .Однако, в силу теореш I , последнее ра­ венство не возможно.Домножив первое равенство слева на /3 1 S , получим, что /3 < J ’ и /3 i /З л являются степенями одного и того же олова, то есть /3 -- СУ. k и I B x S - i t - ' для некоторых цельрс К и .Так как £ i получается из произведения некото­ рой степени В и А С ^ 1А в результате свободных приведений и_И -приведений, то в этом случае U f - А Сх i ^ .Откуда, Д U, А и С , а следовательно, 4 B A = A U К А „ С есть степени одного и того же элемента. Используя теораху I , заключаем, что Н содержится в цент­ рализаторе нетривиального элемента и, следовательно, является циклической подгруппой. Из рассмотренного доказательства заключаем, что множество элементов бесконечного порядка группы Н поровдает циклическую группу. Рассмотрим случай, когда И содержит как элементы бес­ конечного, так_и конечного порядков. Пусть А О А обозначает образующею (или её квадрат.) циклической группы, порождённой элементам бесконечного поряд­ ке группы Н .Согласно лемме 2, допустим, что 8 ’г является неприводимым оловом для любого целого II .Пусть С обозначает элемент конечного порядка группы Ц .Тогда Д /3 КА С обоз­ начает элемент конечного порядка, так как в противном случае и С был бы элементом боскопе С) хго порядка. Согласно лемме 2 , каж,цо(ту элементу коночюго порядка соответствует лишь одно определяю^.'; слово.Кроме того, А - приведения слова Д / 3 К /\ С не могут п р о н и к а т ь очень далеко в В К.Поэтому слова Д В>К А ( связаны лить с конечны" чис-