АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 1986 г.

А % 6 М . - Н ' н , «г ...//* . . . н у - С Так как М - конечно, то MU /j-M , Лемма доказана. Л е м м а 4. Если M X - Х М , то X - Wt ... WP , р > О,о каждое Wj - ВС, относящееся к М . Д о к а з а т е л ь с т в о проведём индукцией по "Ь( X ) . При о(Х)-0 лемма очевидна. Пусть лемма справедлива .для Ъ(Х)(!Т) { т ъ о ) . Докажем её для {Ь(Х)=т* 1 . Пусть Х -Н , . . .Н ^ . пред­ ставление. Тогда по лемме I существует последовательность мно­ жеств слов? , м I ( л п , ffl I (з) такая, что { А*'} = { / * ' ( = М , * Ц А-У> для I- <У , / « 7, ? . Пусть последовательность {А/ минимальное нача ло ( 3 ) такое, что найдётся Число VB € { 7 , 2 , л/, для которого { ' г = {Ас / (такая последовательность существует, так как { А У I -- ( Л ? I ). Тогда {Л?}, Н„, { А?*\ - ОНИ для М , -а Wt х н , Нк н у ... н у - 55 ДЛЯ А / р По лемме 3 W y ' M W ^ M . (4 ) Рассмотрим положительное слово y * H 1Hl ...Hv M ^ . . . H i . Ч У ) < ; (5i • (в) Из ( 4 ),(б ) и условий леммы следует, что МУщ^УМ . Учитывая (5) и Применяя индуктивное предположение, получаем Y - ^ ... l*/> , . где все W j - БС для "Af . Отсюда X = W,... Wp . Лемма доказана. Как известно [ i ] , любое слово Z f G можно представить в виде Z = d г* Х , Х(. СУ и &г принадлежит центру С- . Учитывая это и применяя лешш 2 ,4 , получаем следующую лемму. Л е м м а 5. Пусть Z ^ M Z - M . Тогда Z - и/У '\л/Уг... все W ; - БС для М . t Д о к а з а т е л ь с т в о теоремы 1. Пусть К - {А $ >,0 А ~ положительные слова, и пусть f - t n a x f f j .Тогда * V = ,f й~г *АУ - Л **М , М = [ А ( ] - множество положительных слов. Отсюда М - Дг* И. 0 Обозначим через Wi t базисные сЛова для М . Сущест­ вует алгоритм их построения. 1) По лемме 3 для любого J ( X ( J i t ) имеем: W, М W ; - М . Следовательно Щ - А 4 К , и Щ К W j - К. ^ 2) Пусть V - произвольный элемент из С такой, что V K V - ^ Тогда V -Д *HI и V 'М V~ М. По лемме 5 V= W,( _ 6 4 _