АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 1986 г.

пости произвольных конечно порожденных подгрупп Н ,(о . из Q ^ ; ( 2 ) существует алгоритм, выписывающий образующие пересе­ чения любых двух конечно порожденных подгрупп Ht(Q ,Нл.(С> из Q i . Тогда существует алгоритм, позволяющий для любых конечно порой- денных подгрупп из 0 найти образующие подгруппы Н-,ОНх . Л е м м а I I . В группе 0 у разрешима проблема пересечения циклических подгрупп. д о к а з а т е л ь с т в о . Допустим, что Gij изоморфна гр;~ше б( =< У ,у ; y Z:> • Профакториэуем по нормально­ му делителю , полупи группу > • Из теоремы 6 следует, что в группе &<///' разрешила проблема пере­ сечения конечно порожденных подгрупп. Пусть их^ги^еВ , и игл - образы этих элементов в группе . Допустим, что U0 f t / , ф i в B>//y и пересечение подгрупп не является единичной подгруппой, то есть -<Щ> ¥• F ( £ - единичная подгруппа в Зг/'К ) - Тогда существую* m , n . e Z ( Z - множество целых чисел) такие, что щ т «= йгк . Е группе Элементы u ffj связаны соотноше­ нием: Krt m =(Xi **,f * W x >~ ч При этом если с И=0 , то < № / > ( ) • * u f o , если o t+O , то <ur, = Е *. в /3, . Допустим, что <£&}=• П В Воэможны два случая. Если каждое из игс , £=/,2. > сопряжено либр с Xе* , /<&<2к+1 , либо с у , то как легко убедиться, в группе 8 ^ _будем иметь: <ttrr» 0 < W i> =-<Q<*'k i'$>> . Если же какое - то из iv j , , не сопряжено в ^>/ а ' ни У°* , ни у , то ■< 0 *U £> ~Е~ в группе Bf . Случай, когда щ = * f , тривиален. ^ Пусть Щ = / и й£ гф / . Если йЦ сопряжено в “'/ у о * либо с у , и в в ] , то очевидно <-W}>О*игд.>*=<(* 8 К”) > . Если не сопряжено ни с х л , ни с ^ , то<щ>(\щ,>=Е, Л е м м а 12. В Артиновой группе циклические подгруппы <СЦ> , < « у > пересекаются по единичной подгруппе.» j Д о к а з а т е л ь с т в о . Если /Tfy' а И к + f , то где б 1 - гомоморфизм группы 0 /jo на > определенный на обра­ зующих группы Crij следующим образом: Так как 6 >(с ^ ) , & (а р не сопряжены ни с X е* , :ш с U и <&(at)>/}<${^)>=F , то >f}«GU > - / Г в группе G ry . Пусть ГЩ(-=2к • Тогда , где б 1 - гомоморфизм группы 5 ?.. на , определенный на образующих => , " О -