АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 1986 г.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Из условия имеем ФХ, <fy, - решение уравнения ( I) . Тогда по теореме 4 Ч’Х, при­ надлежат некоторой подгруппе < и f гГя- ранга 2. Значит, «с Р, а>-с с<и,тг>и ■сЧ’Х, ч>У> с чг>. И то, и другое невозможно, так как противоречит максимальности подгрупп X, V > и ^ Р ,< 3 -> . Следо­ вательно , ВОЗМОЖНО ТОЛЬКО Ч "X , </ У > = < Р, <3 > Из теорем 3 и Ь т е о р е м а 6 £ВJ . Чтобы две максимальные подгруппы •' X , Y> и <Р>0> ранга 2 были автоморфны, необходимо и достаточ­ но существова 1 ше автоморфизма , при котором (VX.V’V) = (£,<?)*' * Т е о р е м а 7. Пусть <Х , Y > - максимальная подгруппа 2 группы и пусть для некоторых ' f е Л а ± Г ^ и А , В e f rt i f ( X ' Y )— (А,В). Тогда подгруппа <А,В> максимальная. Д о к а з а т е л ь с т в о . Рассмотрим уравнение с? (х)Ч (У )*СЮ ~ , ?СУ )~ , =-х1В'1~гв ~ /. На основании теоремы 4 существуют элементы U , V € F n такие, что i f (X ) , У С У ) , А , В принадлежат подгруппе ■< й , гТ>. Таким образом , у > ) с г < и, гт>. Но в силу максимальности У(<Х,У>) имеем:. Л. <ЧСМ <Г(У)>=<и,1б>0тсюда>следует, что WX)J ' f ( Y ) , A ,& можно запи­ сать в образующих и , гг} и так как < /(х\ ¥ПО являются свободны­ ми образующими подгруппы < a , v > , то на основании '.еоремы Ниль­ сена существует слово T e< u .,v> такое, что1' V(X) 4>(Y) 4, ~J(* )'S ~ '(Y )= Т ~ 'и v u ' i r - ' T Отсюда в <и .,с п р а в е д л и в о соотношение:? M,irw"V‘ ,T « АВА~16~1. На основании теоремы А.И.Мальцева А , В - свободно порождают свободную подгруппу < u ,v> ^ с V’fW,4’CV)>. Теорема доказана. Доказательство основной теоремы. Пусть а , 6 - два элеменг та , которые можно включить в систему образующих группы . . Тогда они порождают максимальную подгруппу. Так как для некоторогс if <((aJxГ,b~,) = A8A ~ fe ~ ' то подгруппа -<А^В> максимальна (теорема 7) и автоморчна < л , Ь > . Тогда А, В токе могут бить включены в систему свободных образ,ующих. С л е д с т в и е . Пуст£ Л, Ь образующие свободной группы Fn ранга 2, и А, В - произвольные слова . Тогда, если для некоторого Ч’е л u t <J(aha*b'') = А в А ' гв ~ ' то А, В - образующие группы F-~z . 24 -