АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 1986 г.

Отсвда T 'O f P ^ a W ^ Q ) * • Обозначим ^ = V ,f . Это и есть искошй автоморфизм: T ''(YX (f У) ТЫ(P ,Q f ; f, (X, Y) = (Р,<Э)£ ! <-'/Х;ЧУ> »«=P,Q>; Т е< P j Q > ; Т~<.ух,ЧУ>Т = ^P ^Q :> 5 = = < P, Q> . _ Рассмотрим уравнение х, ’*1 X, xz ~ x 3 'x^1x 3 у+ . Слова X , , Jf4 , ar3 , 'из ‘/у,-., являющиеся решением этого уравнения, об­ разуют тривиальное решение, если все они или попарно ( х , > дга. ' ). ( л ) принадлежат некоторой циклической подгруппе < / > * : (соответственнг < / , » ) группы F . Т е о р е м а 4 [3] . Пусть Pf , Рг , Р, , Ру - нетри­ виальное решение уравнения == - J ( i) ' I Тогда сзтцествует подгруппа1!< К VV> ранга 2 группы такая,что ' А Л , Л ; р * 6 < y , vv >. Д о к а з а т е л ь с т в о . Известна [ 2 ] следующая тео­ рема Стейнберга.'Пусть слово lV * K v/^Cxb ...ya'h ),Y (y ,,..,,y n, ) ) ^ / явлЯется элементом свободной группы Уп +П) . свободно поровден- !ной X ,,..., -ХпрУй-.У /п., ‘%йчем Л и У не являются целой сте­ пенью и IV(Y, /J ■ , В Д У ) «=У* . Тогда для того, чтобы эле­ менту Uf t . . . t u n ,V /a..•, ^удовлетворяющие соотношению Y/(X[u,, У б £ ,;.г £ ) ) - /,п°ровдали свободную группу ранга п + т - 1 , необ­ ходимо и достаточно*выполнение, по меньшей мере, одного из усло­ вий; а) У ( х и . , х п ) , У( у , , : . . , ут ) примитивны; б) Х ( х , . . . , Х п ) - примитивное слово и к кратно к или Y ( y 1 , Ут) - примитивное слово и к кратно к \ в) нормальное замыкание /V в Fn +m некоторого элемента, при­ митивного в содержит^л(> . i х п ) или Y { у , , . . . , У т ). В нашем случае VV, ул хЩ х < х , - !, > / х ^ 'х , Дх = Х , x * X i x Y , п ~ 2 , /7 7 * 2 , п + т - /= 3 . X и Y - коммутаторы, поэтому они не могут быть переведены с пошщыо автоморфизма в образующие группы >~п . Следовательно, условия теоремы Стейнберга а) и б) не выполнены. Условие в) токе не выполнено, так как к ■« к. =>/ . Таким образом, нетривиальное решение Р, , РА , Р4 , ■•чавненля (I) не может, порождать ■пбДгруипу ранга 3, Следовательно, существуют такие 'V' , W , что Р , , P j , Р3 , е- < V , W > . Т е о р е м а 5 [ 3 ] . Если существует автоморфизм V грушш Fn такой, что ( YX, Ч’У) - (P,Q)£, то V>*X,Y> = < P ,Q > здесь <X,Y> и <-Р,ц> - максимальные подгруппы. _ /3 _