АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 1986 г.

УДК 519.4 И.С.Бсзгерхняя (Тульский политех.ин- т) ОБОБЩЕНИЕ ОДНОГО РЕЗУЛЬТАТА А.И. МАЛЬЦЕВА 0 А.И. Мальцевым в работе [ I ] доказана т е о р е м а I . Если уравнение 2~'(a.balb~,) z ^ U V u ' t / ' f в свободной группе Гг = < а , 6 > разрешимо относительно 2 , то U , г г - свободные образующие группы Fz . Целью данной статьи является доказательство следующего ут­ верждения. Основная теорема. Пусть Fn - -свободная Группа и а. , b - два элемента, которые могут быть включены в систему её свободных образующих. Тогда если существует такой автоморфизм 'A ^ A u .t Fn ,‘ что Ч>( а ,Ь~Ъ.Ь) « А ' В ' А В , где А,Е>£ Fn то А , & тоже могут быть включены в некоторую систему свободных образующих Fa . Рассмотрим свободную грпгау Fn - < (p.0 . ,. ) Q^-> р ан га/г= \2 и её подгруппы ранга 2. * . О п р е д е л е' н и е. Подгруппа <Х, У> называется макси­ мальной подгруппой ранга 2 свободной группы , если она не содержится ни в одной подгруппе ранга 2. Т е о р е м а 2. Всякий автоморфизм Y & A u t rn (ri> 2 ) перево­ дит максимальную подгруппу < X, У> группа F снова в макси - . мальную. Доказательство очевидно. Т е о р е м а 3 £ 3 ] , Пусть ■* X , У > ,< Р, 0 > - подгруппы ранга 2 группы Fn **< . Если существует такой автомор­ физм Y e Л и -t Fn , что У> = < Р, 0 > , то существует и авто­ морфизм Ч, е A u t F n такой, что Ч, ( X , Y J = ( Р Q ) £ . где ( Х У ) = Х У Х : , У - ' , А = ± / . V J < X ,V > = < p ; q > *" Д о к а з а т е л ь с т в о . По условию «УХ.ЧУ »• = <P,Q>. Будем считать Р и Q нильсеновскиш образующими. Поскольку Y X < и f У - токе образующие, то существует автоморфизм YeAut<P,Q> такой, что Y P ~ Ч X и YQ = $ У . Составим коммутатор (УХ, Y Y ) = = (Т P ,Y Q ) . По теореме Нильсена ( £4"] , с . 175), ослп *P,Q>- свободная группа с двумя свободными образующими Р и Q , то ка­ ков бы ни был автоморфизм У группы < Pt С5> существует такое сло­ во Г в символах Р , Q , что (УР,YQ )=T (P ,Q )£r ~1 Q £ - ± j ) - 22 _