АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 1986 г.

Л е м м а 8. Группа £ = < ■ / ? * £ , ; r e l d , , . . r t l <?„ , ir£j * 'fjc ( U ij ) ; являющаяся древесным произведением групп <?s ценных по изоморфным подгруппам # /< < ? ,- , Uji <Gy фиксированного набора изоморфизмов / Yfy } , 4'J l (VlJ)=VJL но вложима в НМУ - группу , Обводи-, с помощью изоморф* n y s , IUj f i « л , } е у л ; r-etQ,,. reLGn , ty = s5< ^ ' - 4 где (Uj ] icj, jej* ~ система ппав:ш>ных проходных букв. Д о к а з а т е л ь с т в о . Рассмотрим свободную группу, Порожденную системой правильных проходных букв { tij J, 6 Э ( группы tf* , которую обозначим F : > • Пусть /К - нормально? замыкание подгруппы n*G^t в <?* : //- ( n ^ G i.) ^ * . Очевидно, неприводимые слова группы F образуют полную шрейеровсную систему представителей классов смежности группы (г *_ по mod / / . Подгруппа М порождена образующими всех подгрупп G ^ m w 'Gs ъг , где - неприводимое слово, свободно равное и г е F , i * s е п • ; определяющими соотношениями /V . бу­ дут с о о т н о ш е н и я т а к ж е соотношения: £<уг*г a .C ijtr = = С а )й г , •" <^.7, , j е Зя. , V и г e F , Отсюда следует, что /К является свободным произведением групп • <?в с об "единением: __ —■ ^ = t y f o y ) lJiUr, V i? * F t / * s & , т> . Выделим в /V подгруппу, изоморфную группе . Для этого рас - смотрим граф-дерево Г , связанный с группой 5 . Каждой 5 -ой вершине его соответствует группа ; две вершины / , j из Г соединены ребром тогда и только тогда, когда соответствующие группы G-t , Gj об"единены по изоморфным подгруппам U4 ' (U ji) о помощью изоморфизма 4*jc . Начальные вершины графа Г будем* на­ зывать вершинами нулевого уровня, причем все изолированнные вер­ шины Г считаем принадлежащими нулевому уровню. Каждому ребру из Г , соединяющему i -ю вершину с j -ой, поставим в соответст­ вие метку t i j . Тогда последовательности ребер, пути, соединя­ ющему некоторую начальную вершину с t -ой вершиной Г , будет соответствовать метка Щ , свободно равная произведению со­ ответствующих меток ребер данного пути, поэтому будем считать, ’иго каждой вершине нулевого уровня соответствует путь с меткой ё , где е - единица F . Дерево-граф, получаемый из Г ,