АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ПОЛУГРУПП 1986 г.

оканчивается буквой у в степени .Н о тогда слово V ' начинается с буквы -X , что также противоречит максимальной! слова Г по длине. И:ак, слово U оканчивается буквой у в некоторой степени. Аналогично доказывается, что слово V ' начинается с буквы у в некоторой степени: U*U,y*T, VxTyf iV, . В силу максимальности слова Т по длине £ =/ч равенства (2!1 -доказаны. Из них вытекает, что нормальной формой элемента и л г будет слово . В таком случае: <(ur)=e (U,).r£ +e(V1) =e(U,) -,£+е(Т) +е(?) + ч-а -<-e(V,) -3£~ е(и)+е(гг)-зе. ^ Остается положить к = - £ и легли доказана. Т е о р е м а . Цусть f i e Z . i x e s y , /, в / a, jg гд#. УравнеЮ С * г Л . / X = [[*-<' 6 - ^ ] '[ е ; з б 1 ]]Р - , (3) не имеет решений в группах В3 и . , Д о к а з а т е л ь с т в о , Отображение Ч ’• “ 1“ ®* .■» — &, продолжается до эпиморфизма 3 ^ на 8 3 , действующего тож­ дественно на подгруппе <6',,6}l> s 8 3 группы . Поэтому достаточно доказать, что уравнение (3) не тлеет решений в груп­ пе Вц . Л для этого достаточно доказать, что уравнение [у,, и , л у п, Yn h - m ° r A " ] , f o , ^ V ) ’ (4) не имеет решений в группе Z X * Z 3 * (Напомним, что Ж* проекция З3 на Z s ~ * Z % . ) Имеем: Гг*;’, п [*и ы ] =гь~- <&,-<] [егя,б-,] с 6 %-<][ ь , ^ ] = - г , я 61 6 ) \ ^ v < ! 4 = 4 ''Y $ e , \ ) 3 Отсюда * ( ь * 7 > ъ % r * „ e v j ) ш Поэтому уравнение (4) имеет вид: C X , , Y J . . , t X a . Y n X * V ') 6fl. Предположим, что оно имеет некоторое решегшо X ,, У , , . . , , Х ц , У ц й группе <. Z A Н* Z a • Тогда 6 /2 - = е((зси) 6А ) - ~ ‘ ( х ; т % ? , : - Ъ ' К ' Г п Г * ) -